Vous trouverez sur cette page tous les documents que j'ai rédigés pour l'agrégation au cours de l'année 2017/2018, avec notamment les plans de leçons et les développements. En fin de page se trouve une partie consacrée à l'épreuve de modélisation.
J'ai décrit ici comment s'est déroulée mon année d'agreg, comment j'ai travaillé etc. Si vous avez des questions, n'hésitez pas à me contacter.
Attention, les documents mathématiques peuvent contenir des coquilles ou même des erreurs. N'hésitez pas à me contacter pour m'en faire part.
Leçons
Les plans ci-dessous sont personnels, ils sont le fruit de ma vision des choses sur chaque thème. Soyez libres de vous en inspirer pour créer vos propres plans de leçons. La plupart des plans sont rédigés manuscitement, certains sont tapés en Latex.
Vous retrouverez la liste des références exactes ici.
Plans d'algèbre et géométrie
Voici mon mémoire de M2, qui portait sur la leçon 126: Exemples d'équations diophantiennes.
- 101: Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
- 102: Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité. Applications.
- 103: Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
- 104: Groupes finis. Exemples et applications.
- 105: Groupe des permutations d’un ensemble fini. Applications.
- 106: Groupe linéaire d’un espace vectoriel de dimension finie \(E\), sous-groupes de \(GL(E) \). Applications.
- 107: Représentations et caractères d’un groupe fini sur un \(\mathbb{C} \)-espace vectoriel. Exemples.
- 108: Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.
- 110: Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications.
- 120: Anneaux \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \). Applications.
- 121: Nombres premiers. Applications.
- 122: Anneaux principaux. Applications.
- 123: Corps finis. Applications.
- 125: Extensions de corps. Exemples et applications.
- 126: Exemples d’équations diophantiennes.
- 141: Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
- 142: PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications.
- 144: Racines d’un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. Exemples et applications.
- 150: Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.
- 151: Dimension d’un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications.
- 152: Déterminant. Exemples et applications.
- 153: Polynômes d’endomorphisme en dimension finie. Réduction d’un endomorphisme en dimension finie. Applications.
- 154: Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d’endomorphismes d’un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
- 155: Endomorphismes diagonalisables en dimension finie.
- 156: Exponentielle de matrices. Applications.
- 157: Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents.
- 158: Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes.
- 159: Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications.
- 160: Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
- 161: Isométries d’un espace affine euclidien de dimension finie. Applications en dimensions 2 et 3.
- 162: Systèmes d’équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques.
- 170: Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Orthogonalité, isotropie. Applications.
- 171: Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications.
- 181: Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications.
- 183: Utilisation des groupes en géométrie.
- 190: Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
Plans d'analyse et probabilités
- 201: Espaces de fonctions; exemples et applications.
- 202: Exemples de parties denses et applications.
- 203: Utilisation de la notion de compacité.
- 204: Connexité. Exemples et applications.
- 205: Espaces complets. Exemples et applications.
- 207: Prolongement de fonctions. Exemples et applications.
- 208: Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples.
- 209: Approximation d’une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications.
- 213: Espaces de Hilbert. Bases hilbertiennes. Exemples et applications.
- 214: Théorème d’inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie.
- 215: Applications différentiables définies sur un ouvert de \( \mathbb{R}^n\). Exemples et applications.
- 218: Applications des formules de Taylor.
- 219: Extremums: existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications.
- 220: Équations différentielles \( X'=f(t,X) \). Exemples d’étude des solutions en dimension 1 et 2.
- 221: Équations différentielles linéaires. Systèmes d’équations différentielles linéaires. Exemples et applications.
- 223: Suites numériques. Convergence, valeurs d’adhérence. Exemples et applications.
- 224: Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions.
- 226: Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence \(U_{n+1}=f(U_n) \). Exemples. Applications à la résolution approchée d’équations.
- 228: Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d’une variable réelle. Exemples et applications.
- 229: Fonctions monotones. Fonctions convexes. Exemples et applications.
- 230: Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples.
- 233: Méthodes itératives en analyse numérique matricielle.
- 234: Espaces \(L^p\), \(1 \leq p \leq \infty \).
- 235: Problèmes d’interversion de limites et d’intégrales.
- 236: Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.
- 239: Fonctions définies par une intégrale dépendant d’un paramètre. Exemples et applications.
- 241: Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples.
- 243: Convergence des séries entières, propriétés de la somme. Exemples et applications.
- 245: Fonctions holomorphes sur un ouvert de \( \mathbb{C} \). Exemples et applications.
- 246: Séries de Fourier. Exemples et applications.
- 250: Transformation de Fourier. Applications.
- 253: Utilisation de la notion de convexité en analyse.
- 260: Espérance, variance et moments d’une variable aléatoire.
- 261: Fonction caractéristique d’une variable aléatoire. Exemples et applications.
- 262: Modes de convergence d’une suite de variables aléatoires. Exemples et applications.
- 263: Variables aléatoires à densité. Exemples et applications.
- 264: Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications.
Développements
Je mets ici mon couplage leçons-développements. Et voici l'ensemble de mes développements (dans l'ordre alphabétique):
- Algorithme du gradient à pas optimal
- Ascoli
- Automorphismes de \(\frak{S}_n\)
- Calcul de deux fonctions caractéristiques par l'analyse complexe
- Calcul de l'intégrale de Fresnel par les intégrales à paramètres (une méthode plus sympathique et moins calculatoire que la méthode qu'on trouve un peu partout)
- Calcul du cardinal de \( GL_2(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})\)
- Composantes connexes d'une forme quadratique réelle non dégénérée
- Convergence de la suite des polygones des milieux
- Convergence des méthodes itératives
- Densité des polynômes orthogonaux dans \(L^2\)
- Décomposition de Dunford
- Décomposition de Frobenius
- Différentielle du déterminant et application au wronskien
- Dual de \( \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \)
- Dual et bidual d'un groupe
- Ellispoïde de John Loewner
- Équation de Hill Mathieu
- Exemple d'anneau principal
- Homéomorphisme de l'exponentielle
- Irréductibilité des polynômes cyclotomiques
- Isométries du tétraèdre et du cube
- Loi de la réciprocité quadratique par les formes quadratiques
- Méthode de Newton
- Nombre d'automorphismes diagonalisables sur un corps fini
- Nombres de Bell
- Points extremaux de la boule unité
- Polynômes irréductibles sur \(\mathbb{F}_q \)
- Processus de Galton Watson
- Prolongement de la fonction \( \Gamma \) d'Euler
- Réduction des endomorphismes normaux
- Résolution de l'équation de la chaleur par les séries de Fourier
- Séries de Hardy
- Simplicité de \( SO(3) \)
- Surjectivité de l'exponentielle matricielle
- Table de caractères de \( \frak{S}_4 \)
- Table de caractères et sous-groupes distingués
- Théorème central limite
- Théorème de Burnside
- Théorème de Cauchy Lipschitz
- Théorème de Dirichlet faible
- Théorème de Féjer
- Théorème de Fourier Plancherel
- Théorème de Glivenko Cantelli
- Théorème de Kronecker
- Théorème de projection
- Théorème de Riesz Fischer
- Théorème des deux carrés
- Théorème de structure des groupes abéliens finis
- Théorème des extrema liés
- Théorème de Weierstrass par les polynômes de Bernstein
Modélisation option Proba-Stats
- le Guide de survie, où se trouvent les bases à savoir pour la partie programmation en Scilab de l'épreuve.
- Un fichier de Laura, que j'ai modifié: voici. J'y ai rassemblé tout ce qui me semblait bon à savoir pour programmer en Scilab. J'en ai fait une version en Python pendant mes enseignements à la prépa agreg. N'hésitez pas à me demander le fichier tex si vous souhaitez l'améliorer.