Title: Mathématiques-PTSI / Variables aléatoires

Q: [latex] Variable aléatoire[/latex]
A: [latex] On appelle \emph{variable aléatoire} $X$ toute application définie sur $\Omega$, à valeurs dans un ensemble $E$. Lorsque $E\subset \R$, on dit que la v.a. est \emph{réelle}. [/latex]

Q: [latex] Loi d'une variable aléatoire [/latex]
A: [latex] Soit $X$ une v.a. à valeurs dans un ensemble $E$. On appelle \emph{loi de la variable aléatoire} $X$ l'application $\bP_X:E\to \R$ telle que
    \[\forall x\in X(\Omega), \ \bP_X(\{x\})=\bP(X=x). \]
    Autrement dit, \[\forall B\subset X(\Omega), \, \bP_X(B)=\bP(X\in B)=\sum_{x\in B}\bP(X=x).\]
    On note $X\sim Y$ pour indiquer $\bP_X=\bP_Y$. [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux ensembles, $X$ une v.a. à valeurs dans $E$ et $f:E\to F$. V.a. image de $X$ par $f$ [/latex]
A: [latex] L'application $f\circ X:\Omega \to F$. C'est une v.a. à valeurs dans $F$ appelée \emph{image de $X$ par $f$} et notée $f(X)$.[/latex]

Q: [latex] Loi de $f(X)$ à partir de la loi de $X$ [/latex]
A: [latex] La loi associée à la v.a. $f(X)$ est \[\fonction{\bP_{f(X)}}{f(X(\Omega))}{[0,1]}{y}{ \bP(X\in f^{-1}({y})) }\] [/latex]

Q: [latex] Si $X\sim Y$, que dire de $f(X)$ et $f(Y)$ ? [/latex]
A: [latex] $f(X)\sim f(Y)$[/latex]

Q: [latex] Loi conditionnelle de $X$ sachant $A$ [/latex]
A: [latex] Soit $X$ une v.a. à valeurs dans $E$ et $A$ un évènement de probabilité non nulle. On appelle \emph{loi conditionnelle de $X$ sachant $A$} la fonction \[\fonction{\bP_A}{E}{\R}{x}{\bP(X=x|A)}\] [/latex]

Q: [latex] Fonction de répartition d'une v.a. réelle (HP) [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{fonction de répartition} de la v.a. réelle $X$, la fonction \[\fonction{F_X}{\R}{[0,1]}{t}{\bP(X\leq t)=\bP_X(]-\infty,t]) }\] [/latex]

Q: [latex] Propriétés de la fonction de répartition (HP) [/latex]
A: [latex] Soit $X$ une v.a. discrète à valeurs dans $X(\Omega)=\{x_1, \cdots, x_n\}$, $n\geq 1$, où $x_1<x_2<\cdots<x_n$. La fonction de répartition $F_X$ de $X$ est croissante de $0$ à $1$, constante sur chaque intervalle $[x_k,x_{k+1}[$ avec un saut $p_k=\bP(X=x_k)$ en chaque atome $x_k$.[/latex]

Q: [latex] Loi uniforme sur un ensemble $E$ [/latex]
A: [latex] Soient $E$ un ensemble fini non vide, de cardinal $n$.
    On dit qu'une v.a. $X$ suit la \emph{loi uniforme} sur $E$, on note $X\sim \mathcal{U}(E)$ lorsque $X(\Omega)=E$ et $\bP_X$ est la fonction constante sur $E$ de valeur $1/n$ : pour tout $x\in E$, $\bP(X=x)=\frac{1}{n}$.[/latex]

Q: [latex] Loi de Bernoulli [/latex]
A: [latex] Soit $p\in [0,1]$. On dit qu'une v.a. $X$ suit une \emph{loi de Bernoulli de paramètre $p$}, on note $X\sim \mathcal{B}(p)$ lorsqu'elle ne prend que deux valeurs $0$ et $1$ avec $\bP(X=1)=p$ et $\bP(X=0)=1-p:=q$.[/latex]

Q: [latex] Interprétation loi uniforme [/latex]
A: [latex] Résultat d'un tirage dans une situation d'équirépartition [/latex]

Q: [latex] Interprétation d'une loi de Bernoulli [/latex]
A: [latex] Très souvent on s'intéresse à un évènement $A$ lors d'une E.A.. On dira que l'expérience est un succès si $A$ est réalisé, et un échec s'il ne l'est pas. $\xi_A$ est alors la variable de Bernoulli prenant la valeur $1$ en cas de succès et $0$ en cas d'échec. Parfois, on la note $\mathbb{1}_A$.[/latex]

Q: [latex] Loi binomiale [/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N^*$ et $p\in [0,1]$ On dit que $X$ suit la \emph{loi binomiale} de paramètres $n$ et $p$, et on note $X\sim \mathcal{B}(n,p)$ lorsque $X(\Omega)=\llbracket 0, n \rrbracket$ et pour $0\leq k \leq n$, \[\bP(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}.\]
[/latex]

Q: [latex] Interprétation d'une loi binomiale [/latex]
A: [latex] C'est la loi représentant le nombre de succès obtenus dans une suite de $n$ épreuves répétées, indépendantes avec pour chaque épreuve une probabilité $p$ de succès. [/latex]

Q: [latex] Couple de v.a. / Marginales [/latex]
A: [latex] L'application $\fonction{(X,Y)}{\Omega}{E\times F}{\omega}{(X(\omega),Y(\omega))}$ est appelé \emph{couple aléatoire}. C'est une v.a. à valeurs dans $E\times F$.
Les v.a. $X$ et $Y$ sont alors appelées ses \emph{marginales}. [/latex]

Q: [latex] Donner un système complet d'évènements associé à un couple de v.a.  [/latex]
A: [latex]Soient $X$ et $Y$ deux v.a. discrètes finies. On note $X(\Omega)=\{x_1, \cdots, x_N\}\subset E$ et $Y(\Omega)=\{y_1,\cdots, y_P\}\subset F$, avec $N$ et $P$ des entiers.
La famille $((X=x_i)\cap (Y=y_j))_{(i,j)\in \llbracket 1,N\rrbracket \times \llbracket 1, P \rrbracket}$ est un système complet d'évènements. [/latex]

Q: [latex] Loi conjointe[/latex]
A: [latex] On appelle \emph{loi conjointe de $X$ et $Y$} ou loi du couple $(X,Y)$ l'application \[\fonction{\bP_{X,Y}}{X(\Omega)\times Y(\Omega)}{[0,1]}{(x,y)}{\bP((X=x)\cap (Y=y))}.\] [/latex]

Q: [latex] Loi marginale [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{première loi marginale} du couple $(X,Y)$ la loi de $X$. On appelle \emph{seconde loi marginale} la loi de $Y$. [/latex]

Q: [latex] Liens entre lois marginales et loi conjointe [/latex]
A: [latex] Les lois marginales du couple $(X,Y)$ sont déterminées de façon unique par la loi du couple $\bP_{X,Y}$. En effet, pour tout $x\in X(\Omega)$, \[\bP_X(x)=\sum_{y\in Y(\Omega)}\bP_{X,Y}(x,y)\]
    Et symétriquement, pour tout $y\in Y(\Omega)$, \[\bP_Y(y)=\sum_{x\in X(\Omega)}\bP_{X,Y}(x,y)\]Attention, les lois marginales ne suffisent pas à déterminer la loi du couple !
[/latex]

Q: [latex] Indépendance de deux v.a. [/latex]
A: [latex] On dit que $X$ et $Y$ sont \emph{indépendantes} lorsque
    pour tout $A\subset E$, $B\subset F$, les évènements $(X\in A)$ et $(Y\in B)$ sont indépendants :  $\bP((X,Y)\in A\times B)=\bP(X\in A)\bP(Y\in B)$.  (la loi du couple est le produit des lois marginales). On note $X \perp\kern-5pt\perp  Y$.
    \\
    Cette définition est équivalente, dans le cas des v.a. discrètes à : pour tout $x\in E$, tout $y\in F$, les évènements $(X=x)$ et $(Y=y)$ le sont, autrement dit, $\bP((X=x)\cap (Y=y))=\bP(X=x)\bP(Y=y)$. [/latex]

Q: [latex] Soient $E_1, E_2, F_1, F_2$ quatre ensembles. $f:E_1\to F_1$ et $g:E_2\to F_2$ et $X_1$, $X_2$ deux v.a. indépendantes à valeurs dans $E_1, E_2$. Que dire de $f(X_1)$ et $g(X_2)$ ?  [/latex]
A: [latex] Alors $f(X_1)$ et $g(X_2)$ sont des v.a. indépendantes. [/latex]

Q: [latex] Famille de v.a. indépendantes [/latex]
A: [latex] On dit que les v.a. sont \emph{(mutuellement) indépendantes} lorsque
    pour tous sous ensembles respectifs $A_1, \cdots, A_n$ de $E_1, \cdots E_n$, on a $\bP(\bigcap_{i=1}^n(X_i\in A_i))=\prod_{i=1}^{n}\bP(X_i\in A_i)$.
Autrement dit, dans le cas de v.a. discrètes :
pour tout $(x_1, \cdots, x_n)\in E_1\cdots E_n$, les évènements $(X_1=x_1), \cdots (X_n=x_n)$ le sont, i.e. $\bP(\bigcap_{i=1}^n(X_i=x_i))=\prod_{i=1}^{n}\bP(X_i=x_i)$.
[/latex]

Q: [latex] Que dire d'une sous-famille d'une famille de v.a. indépendantes ?[/latex]
A: [latex] Elles sont indépendantes.[/latex]

Q: [latex] Indépendance de v.a. de Bernoulli [/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N^*$, $A_1, \cdots, A_n$ $n$ évènements et $X_1,\cdots, X_n$ les variables de Bernoulli respectivement associées à ces évènements. Les évènements $A_1, \cdots, A_n$ sont indépendants ssi les v.a. $X_1,\cdots, X_n$ sont indépendantes. [/latex]

Q: [latex] Soient $p\in [0,1]$, $n\in \N^*$ et $X_1,\cdots, X_n$ $n$ v.a. suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre $p$ et mutuellement indépendantes. Alors la variable $X$ à valeurs dans $\llbracket 0,n\rrbracket$ définie par $X=X_1+\cdots+X_n$ suit [...][/latex]
A: [latex] la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$.[/latex]

Q: [latex] Lemme des coalitions [/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N^*$, $E_1,\cdots E_n, F_1,F_2$ des ensembles. $f:E_1\times\cdots  \times E_m\to F_1$, $g:E_{m+1}\times \cdots \times E_n\to F_2$ et $X_1,\cdots X_n$ $n$ v.a. indépendantes à valeurs dans $E_1,\cdots, E_n$. Alors $f(X_1, \cdots, X_m)$ et $g(X_{m+1},\cdots, X_n)$ sont des v.a. indépendantes.[/latex]

Q: [latex] Espérance d'une v.a. réelle [/latex]
A: [latex] On appelle espérance de $X$, et on note $\mathbb{E}[X]$ la somme (finie)
    \[\mathbb{E}[X]=\sum_{x\in X(\Omega)}x\bP(X=x).\]
    On dit qu'une v.a. est centrée lorsque son espérance est nulle. [/latex]

Q: [latex] Autre formule pour l'espérance ?[/latex]
A: [latex] $\mathbb{E}[X]=\sum_{\omega\in \Omega}X(\omega)\bP(\{\omega\})$ [/latex]

Q: [latex] Propriétés de l'espérance [/latex]
A: [latex]
\begin{enumerate}
\item linéaire : Soient $X$ et $Y$ deux v.a. discrètes réelles et $\alpha\in \R$, alors $\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$ et $\mathbb{E}[\alpha X]=\alpha \mathbb{E}[X]$
        \item Positive : Si $X\geq 0$ p.s. (i.e  $\bP(X\geq 0)=1$), alors $\mathbb{E}[X]\geq 0$.
        \item Croissante : Si $X\leq Y$ p.s., alors $\mathbb{E}[X]\leq \mathbb{E}[Y]$
    \end{enumerate}
 [/latex]

Q: [latex] Inégalité triangulaire de l'espérance [/latex]
A: [latex]         $\abs{\mathbb{E}[X]}\leq \mathbb{E}[\abs{X}]$ [/latex]

Q: [latex]Formule de transfert [/latex]
A: [latex] Soit $X$ une v.a. et $f:X(\Omega)\to \R$, alors \[\mathbb{E}[f(X)]=\sum_{x\in X(\Omega)}f(x)\bP(X=x).\] [/latex]

Q: [latex] Inégalité de Markov[/latex]
A: [latex] Soit $X$ une v.a. à valeurs \textbf{positives ou nulles}. Soit $t\in \R^*_+$, alors \[\bP(X\geq t)\leq \dfrac{\mathbb{E}[X]}{t}.\][/latex]

Q: [latex] Espérance et indépendance [/latex]
A: [latex] Soient $X$ et $Y$ deux v.a. réelles indépendantes. Alors $\mathbb{E}[XY]=\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$ [/latex]

Q: [latex] Variance et écart type d'une v.a. réelle [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{variance} de $X$ et on note $V(X)$, le réel positif ou nul \[V(X)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2].\]
    On appelle \emph{écart-type} de $X$ et on note $\sigma(X)$ le nombre positif ou nul $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$. \\
    Lorsque $V(X)=1$, on dit que $X$ est une v.a. \emph{réduite}.[/latex]

Q: [latex] Propriété de la variance [/latex]
A: [latex] Soit $a,b \in \R^2$, $V(aX)=a^2V(X)$ et $V(X+b)=V(X)$. En particulier, si $\sigma(X)>0$, alors $\dfrac{X-\mathbb{E}[X]}{\sigma(X)}$ est centrée réduite.[/latex]

Q: [latex] Formule de Koenig[/latex]
A: [latex] $V(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2$[/latex]

Q: [latex] Inégalité de Bienaymé-Tchebychev[/latex]
A: [latex] Soit $X$ une v.a. réelle. Alors pour tout $t>0$, \[\bP(\abs{X-\mathbb{E}[X]}\geq t)\leq \dfrac{V(X)}{t^2}\] [/latex]

Q: [latex] Espérance d'une $\mathscr{B}(p)$[/latex]
A: [latex] $p$ [/latex]

Q: [latex] Espérance d'une $\mathscr{B}(n,p)$[/latex]
A: [latex] $np$[/latex]

Q: [latex] Variance d'une $\mathscr{B}(p)$[/latex]
A: [latex] $pq=p(1-p)$[/latex]

Q: [latex] Variance d'une $\mathscr{B}(n,p)$[/latex]
A: [latex] $npq=np(1-p)$[/latex]

Q: [latex] Covariance de deux v.a. [/latex]
A: [latex] Soit $(X,Y)$ deux v.a. réelles. On appelle \emph{covariance} de $X$ et $Y$ et on note $Cov(X,Y)$ le réel défini par \[Cov(X,Y)=\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])(Y-\mathbb{E}[Y])].\]
    Lorsque $Cov(X,Y)=0$, on dit que $X$ et $Y$ sont \emph{décorrélées}.[/latex]

Q: [latex] Autre formule pour la covariance [/latex]
A: [latex] $Cov(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]$ [/latex]

Q: [latex] Covariance et indépendance [/latex]
A: [latex]     Deux v.a. indépendantes ont une covariance nulle. La réciproque est fausse !
 [/latex]

Q: [latex] Variance de $X+Y$.[/latex]
A: [latex] $V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2Cov(X,Y)$. En particulier, si $X$ et $Y$ sont indépendantes, la variance de la somme est la somme de leurs variances [/latex]

Q: [latex] Variance d'une somme de $n$ v.a. [/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N^*$ et $X_1,\cdots, X_n$ $n$ v.a., alors
    \[V(\sum_{i=1}^{n}X_i)=\sum_{i=1}^{n}V(X_i)+2\sum_{1\leq i<j\leq n }Cov(X_i,X_j).\] [/latex]

Q: [latex] Espérance d'une $\mathscr{U}(\{x_1,\cdots, x_n\})$[/latex]
A: [latex] $\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}$[/latex]