Title: Mathématiques-PTSI / Matrices, famille de vecteurs et applications linéaires

Q: [latex] Soit $\mathscr{B}=(e_1,\cdots, e_n)$ une base d'un $\K$-ev $E$ de dimension finie $n$. Soient $v_1, \cdots v_p$, $p$ vecteurs de $E$. Quelle est la matrice de la famille $(v_1, \cdots, v_p)$ dans la base $\mathscr{B}$ ? [/latex]
A: [latex]On note $a_{ij}$ la $i$-ème coordonnées de $v_j$ dans $\mathscr{B}$ : $v_j=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}e_i$.
    Alors la matrice $A=(a_{ij})\in \mathscr{M}_{n,p}(\K)$ est appelée \emph{matrice de la famille $(v_1, \cdots, v_p)$ dans la base $\mathscr{B}$} (ou relativement à la base $\mathscr{B}$), et elle est notée $\mathscr{M}_{\mathscr{B}}(v_1,\cdots, v_p)$.
Autrement dit, on décompose chaque vecteur dans la base $\base{B}$ puis on écrit leurx coordonnées en colonne. [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ un $\K$ ev de dimension finie $p$, $F$ un $\K$ ev de dimension finie $n$. Soient $\mathscr{B}=(e_1,\cdots,e_p)$ et $\mathscr{C}=(f_1,\cdots, f_n)$ des bases respectives de $E$ et $F$. Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Quelle est la matrice de $u$ relativement à $\mathscr{B}$ et $\mathscr{C}$ ? [/latex]
A: [latex]  On appelle \emph{matrice de $u$ relativement à $\mathscr{B}$ et $\mathscr{C}$}, notée $\mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C}}(u)$ la matrice $\mathscr{M}_{\mathscr{C}}(u(e_1),\cdots, u(e_p))\in \mathscr{M}_{n,p}(\K)$. Autrement dit, cette matrice contient les coordonnées des images des vecteurs de la base de départ, décomposés dans la base d'arrivée.[/latex]

Q: [latex] L'application \[\fonction{\varphi}{\mathscr{L}(E,F)}{\mathscr{M}_{n,p}(\K)}{u}{\mathscr{M}_{\base{B},\base{C}}(u)}\] est [...] [/latex]
A: [latex] un isomorphisme d'e.v. [/latex]

Q: [latex] Donner deux CNS pour l'inversibilité d'une matrice carrée de taille $n$ [/latex]
A: [latex] Une matrice carrée est inversible si et seulement si son noyau est réduit au sous espace nul, si et seulement si ses colonnes engendrent $\K^n$.[/latex]

Q: [latex] Soit $E$ est un $\K$ ev de dimension finie $n$ et $\base{B},\base{B}'$ sont des bases de $E$.
Quelle est la matrice de passage de $\base{B}$ dans $\base{B}'$?
    [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{matrice de passage de $\base{B}$ dans $\base{B}'$} la matrice $\mathscr{M}_{\mathscr{B}}(\base{B}')$. On la note parfois $P_{\base{B}}^{\base{B}'}$. [/latex]

Q: [latex]  Soit $E$ est un $\K$ ev de dimension finie $n$ et $\base{B}_1,\base{B}_2 $ sont des bases de $E$. Que dire de $\mathscr{M}_{\mathscr{B}_1}(\base{B}_2)$ ?[/latex]
A: [latex] Elle est inversible et son inverse est $\mathscr{M}_{\mathscr{B}_2}(\base{B}_1)$.[/latex]

Q: [latex] Formule de changement de base pour un vecteur de $E$, avec $\mathscr{B}_1 $ et $\mathscr{B}_2$ deux bases de $E$ [/latex]
A: [latex] Soit $x\in E$, $\matricev{\base{B}_1}{x}=\matricev{\mathscr{B}_1}{\base{B}_2}\matricev{\base{B}_2}{x}$.[/latex]

Q: [latex] Formule de changement de base pour une application linéaire $u\in \mathscr{L}(E,F)$, où $E$ est un e.v. de dimension finie avec $\mathscr{B}_1$ et $\mathscr{B}_2$ deux bases  et $F$ est un e.v. de dimension finie avec des bases $\base{C}_1$ et $\base{C}_2$[/latex]
A: [latex] $\matricef{\base{B}_2}{\base{C}_2}{u}=\matricev{\base{C}_1}{\base{C}_2}^{-1}\matricef{\base{B}_1}{\base{C}_1}{u}\matricev{\base{B}_1}{\base{B}_2}$.[/latex]

Q: [latex] Quel est la rang d'une matrice ?[/latex]
A: [latex] Soit $A\in M_{n,p}(\K)$. On note $C_1,\cdots, C_p$ les colonnes de $A$. Alors, on appelle \emph{rang de $A$} et on note $rg(A)$ l'entier $rg(C_1,\cdots, C_p)$. [/latex]

Q: [latex] Quelle est le lien entre le rang d'une matrice et le rang d'une application linéaire ? [/latex]
A: [latex] Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$,avec $E$ et $F$ deux e.v. de dimension finie, de base respective $\base{B}$ et $\base{C}$. Alors $rg(u)=rg(\matricef{\base{B}}{\base{C}}{u})$.[/latex]

Q: [latex] Caractérisation de l'inversibilité d'une matrice par le rang [/latex]
A: [latex]     $A\in \mathscr{M}_n(\K)$ est inversible si et seulement si $rg(A)=n$
[/latex]

Q: [latex] Formule de changement de base pour un endomorphisme [/latex]
A: [latex] Soit $u\in \mathscr{L}(E)$, avec $E$ un e.v. de dimension finie de bases $\base{B}_1$ et $\base{B}_2$. Alors  $\matricev{\base{B}_2}{u}=\matricev{\base{B}_1}{\base{B}_2}^{-1}\matricev{\base{B}_1}{u}\matricev{\base{B}_1}{\base{B}_2}$.[/latex]

Q: [latex] Matrices semblables[/latex]
A: [latex] Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées de taille $n$. $A$ et $B$ sont dite \emph{semblables} losqu'il existe $P\in GL_n(\K)$ telle que $A=P^{-1}BP$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de similitude de matrices [/latex]
A: [latex] Deux matrices sont semblables si et seulement si ce sont les matrices d'un même endomorphisme $u$ exprimées dans deux bases différentes.
Autrement dit, $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si, il existe un e.v. $E$ de dimension finie $n$, deux bases $\base{B}$ et $\base{B}'$ et un endomorphisme $u$ tel que $A=\matricev{\base{B}}{u}$ et $B=\matricev{\base{B}'}{u}$ [/latex]

Q: [latex] Si $A$ et $B$ sont semblables, que dire de $A^k$ et $B^k$ pour $k\in \N$ ? [/latex]
A: [latex] alors pour tout $k\in \N$, $A^k$ et $B^k$ sont semblables. [/latex]

Q: [latex] Matrice diagonalisable [/latex]
A: [latex] Une matrice $A\in \mathscr{M}_n(\K)$ est dite \emph{diagonalisable} lorsqu'elle est semblable à une matrice diagonale. [/latex]

Q: [latex] Endomorphisme diagonalisable en dimension finie [/latex]
A: [latex] Un endomorphisme $u\in L(E)$ est dit \emph{diagonalisable} lorsqu'il existe une base $\base{B}$ (appelée base de diagonalisation) dans la quelle la matrice de $u$ est diagonale.
[/latex]

Q: [latex] Trace d'une matrice [/latex]
A: [latex] Soit $A$ une matrice carrée de taille $n$. Alors la \emph{trace de $A$}, notée $Tr(A)$ est la somme des éléments diagonaux de $A$. $$Tr(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}$$.[/latex]

Q: [latex] Trace d'un endomorphisme en dimension finie [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{trace d'un endomorphisme} $u$ et on note $Tr(u)$ le scalaire défini par $Tr(u)=Tr(\matricev{\base{B}}{u})$, où $\base{B}$ est une base quelconque de $E$. Cette valeur ne dépend pas du choix de la base.[/latex]

Q: [latex] Citer quatre propriétés de la trace [/latex]
A: [latex]
\begin{itemize}
\item invariante pas transposition
\item forme linéaire
\item invariante par permutation circulaire
\item invariante par similitude
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex] Soient $E$ un $\K$ ev de dimension finie $p$, $F$ un $\K$ ev de dimension finie $n$. Soient $\mathscr{B}$ et $\mathscr{C}$ des bases respectives de $E$ et $F$. Soit $u\in\mathscr{L}(E,F)$ et $x\in E$, $ \mathscr{M}_{\mathscr{C} }(u(x))=[...]$[/latex]
A: [latex] $\mathscr{M}_{\mathscr{C} }(u(x))=\mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(u)\mathscr{M}_{\mathscr{B} }(x) $.[/latex]

Q: [latex] Soient $E$ un $\K$ ev de dimension finie $p$, $F$ un $\K$ ev de dimension finie $n$. Soient $\mathscr{B}$ et $\mathscr{C}$ des bases respectives de $E$ et $F$. Soit $u\in\mathscr{L}(E,F)$ et $x\in E$, $ [...]= \mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(u)\mathscr{M}_{\mathscr{B} }(x) $.[/latex]
A: [latex] $\mathscr{M}_{\mathscr{C} }(u(x))= \mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(u)\mathscr{M}_{\mathscr{B} }(x) $ [/latex]

Q: [latex] Soient $u$ et $v\in \mathscr{L}(E,F)$ et $\lambda\in\K$. Alors,
$\mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(\lambda u+v) =[...] $
[/latex]
A: [latex]$\lambda \mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(u)+\mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(v)$
[/latex]

Q: [latex] Soient $u$ et $v\in \mathscr{L}(E,F)$ et $\lambda\in\K$. Alors,
$ [...]=\lambda \mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(u)+\mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(v)$
[/latex]
A: [latex] $ \mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(\lambda u+v)$ [/latex]

Q: [latex] Soient ,$E$, $F$ et $G$ trois $\K$ ev de dimension finie de base respective $\mathscr{B}$, $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$. Soient $f\in \mathscr{L}(F,G)$, $g\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors
$\mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{D} }(f\circ g)=[...]$
[/latex]
A: [latex] $\mathscr{M}_{\mathscr{C},\mathscr{D} }(f)\times \mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(g)$
[/latex]

Q: [latex] Soient ,$E$, $F$ et $G$ trois $\K$ ev de dimension finie de base respective $\mathscr{B}$, $\mathscr{C}$ et $\mathscr{D}$. Soient $f\in \mathscr{L}(F,G)$, $g\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors
$[...]=\mathscr{M}_{\mathscr{C},\mathscr{D} }(f)\times \mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{C} }(g)$
[/latex]
A: [latex]
$\mathscr{M}_{\mathscr{B},\mathscr{D} }(f\circ g)$
[/latex]

Q: [latex] La matrice d'une application linéaire est inversible si, et seulement si, [...]. Dans ce cas, l'inverse de la matrice considérée est [...][/latex]
A: [latex] La matrice d'une application linéaire est inversible si, et seulement si, cette application linéaire est un isomorphisme. Dans ce cas, l'inverse de la matrice considérée est la matrice de l'application réciproque de l'isomorphisme considéré.[/latex]

Q: [latex] La matrice d'une application linéaire est [...] si, et seulement si, cette application linéaire est un isomorphisme. Dans ce cas, [...] est la matrice de l'application réciproque de l'isomorphisme considéré.[/latex]
A: [latex] La matrice d'une application linéaire est inversible si, et seulement si, cette application linéaire est un isomorphisme. Dans ce cas, l'inverse de la matrice considérée est la matrice de l'application réciproque de l'isomorphisme considéré.[/latex]

Q: [latex] La matrice d'une famille de vecteurs de $E$ est [...] si, et seulement si, cette famille de vecteurs est une base. [/latex]
A: [latex] La matrice d'une famille de vecteurs de $E$ est inversible si, et seulement si, cette famille de vecteurs est une base. [/latex]

Q: [latex] La matrice d'une famille de vecteurs de $E$ est inversible si, et seulement si, [...] [/latex]
A: [latex] La matrice d'une famille de vecteurs de $E$ est inversible si, et seulement si, cette famille de vecteurs est une base. [/latex]

Q: [latex] Soit $E$ est un $\K$ ev de dimension finie $n$ et $\base{B}_1,\base{B}_2$ sont des bases de $E$.
$\mathscr{M}_{\mathscr{B}_1 }(\base{B}_2)  =[...]$
 [/latex]
A: [latex] $\mathscr{M}_{\mathscr{B}_2,\base{B}_1 }(Id_E)$
 [/latex]

Q: [latex] Soit $E$ est un $\K$ ev de dimension finie $n$ et $\base{B}_1,\base{B}_2$ sont des bases de $E$.
$[...] =\mathscr{M}_{\mathscr{B}_2,\base{B}_1}(Id_E)$
 [/latex]
A: [latex] $\mathscr{M}_{\mathscr{B}_1 }(\base{B}_2)$  [/latex]

Q: [latex] Soit $E$ est un $\K$ ev de dimension finie $n$ et $\base{B}_1,\base{B}_2,\base{B}_3$ sont des bases de $E$.
$\mathscr{M}_{\mathscr{B}_1 }(\base{B}_3) =[...]$
[/latex]
A: [latex] $\mathscr{M}_{\mathscr{B}_1 }(\base{B}_2)\mathscr{M}_{\mathscr{B}_2 }(\base{B}_3)$
[/latex]

Q: [latex] Soit $E$ est un $\K$ ev de dimension finie $n$ et $\base{B}_1,\base{B}_2,\base{B}_3$ sont des bases de $E$.
$[...]=\mathscr{M}_{\mathscr{B}_1 }(\base{B}_2)\mathscr{M}_{\mathscr{B}_2 }(\base{B}_3)$
[/latex]
A: [latex]
$\mathscr{M}_{\mathscr{B}_1 }(\base{B}_3) $
[/latex]