Title: Mathématiques-PTSI / Equations différentielles

Q: [latex]Équation différentielle linéaire d'ordre $n$ [/latex]
A: [latex] Equation, d'inconnue $y$
        \begin{equation}\label{eq_EDO} \tag{$\mathcal{E}$}
            y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_1(t)y'+a_0(t)y=b(t)
        \end{equation} [/latex]

Q: [latex]Équation différentielle linéaire homogène d'ordre $n$  [/latex]
A: [latex] Equation, d'inconnue $y$
        \begin{equation}\label{eq_EDO} \tag{$\mathcal{H}$}
            y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0
        \end{equation} [/latex]

Q: [latex] Problème de Cauchy linéaire d'ordre $n$ [/latex]
A: [latex] Soient $t_0\in I$ et $y_0, \dots, y_{n-1}\in \mathbb{K}$. L'équation différentielle associée avec les conditions initiales
$\begin{cases}
y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_1(t)y'+a_0(t)y=b(t) \text{ et }\\ y(t_0)=y_0, \quad y'(t_0)=y_1,\quad \dots \quad y^{(n-1)}(t_0)=y_{n-1}
\end{cases}$
Les CI sotn prises au même point $t_0$.
    [/latex]

Q: [latex] Structure de l'ensemble des solutions d'une EDL d'ordre $n$ [/latex]
A: [latex]$S_{\mathcal{H}}$ est non vide et est stable par combinaison linéaires.
 Pout toute solution particulière $y_p\in S_{\mathcal{E}}$ fixé, on a $S_{\mathcal{E}}=\{y_p+y_H| y_H\in S_{\mathcal{H}}\}$.
En particulier, $S_{\mathcal{E}}$ est l'ensemble vide, un singleton ou un ensemble infini. [/latex]

Q: [latex] Principe de superposition [/latex]
A: [latex] Soient $n$ un entier, $a_0, \dots, a_{n-1}$, $b_1$, $b_2$ des applications continues de $I$ dans $\mathbb{K}$ et $(\lambda_1, \lambda_2)\in \mathbb{K}^2$. On considère les équations
    \begin{equation}\label{eq_EDO_1} \tag{$\mathcal{E}_1$}
        y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_1(t)y'+a_0(t)y=b_1(t)
    \end{equation}
    \begin{equation}\label{eq_EDO_2} \tag{$\mathcal{E}_2$}
        y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_1(t)y'+a_0(t)y=b_2(t)
    \end{equation}
    \begin{equation}\label{eq_EDO_1_2} \tag{$\mathcal{E}_{1+2}$}
        y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_1(t)y'+a_0(t)y=\lambda_1b_1(t)+\lambda_2b_2(t)
    \end{equation}
    Alors pour toutes solutions $y_1$ de $\mathcal{E}_1$ et $y_2$ de $\mathcal{E}_2$, $\lambda_1y_1+\lambda_2y_2$ est une solution de \eqref{eq_EDO_1_2}. [/latex]

Q: [latex] Theorème de Cauchy [/latex]
A: [latex] Tout problème de Cauchy linéaire d'ordre $n$ admet une unique solution. [/latex]

Q: [latex] Solutions de $\forall t\in I, \,  y'(t)+a(t)y(t)=0$ [/latex]
A: [latex] Soit $A$ une primitive de $a$ sur $I$. Alors \[S_{\mathcal{H}}=\{t\mapsto Ce^{-A(t)}| C\in \mathbb{K}\}\]
    Si, de plus, une condition initiale est fixée, alors la solution est unique. [/latex]

Q: [latex] "Jamais nulle ou toujours nulle" [/latex]
A: [latex] Une solution d'une équation linéaire homogène qui s'annule en un point est identiquement nulle. [/latex]

Q: [latex] Méthode pour trouver une solution particulière de $y'+a(t)y=b(t)$. [/latex]
A: [latex] C'est la méthode de la variation de la constante. On cherche une solution particulière sous la forme $y:t\mapsto C(t)e^{-A(t)}$ avec $A$ une primitive de $a$ et $C$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$.  [/latex]

Q: [latex] Solutions complexes $y''+ay'+by=0$  [/latex]
A: [latex] Soit $\Delta$ le discriminant du polynôme caractéristique $X^2+aX+b=0$
\begin{enumerate}
            \item Si $\Delta\neq 0$, alors les solutions sont les applications de la forme $t\mapsto \lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$ pour $(\lambda, \mu)\in \mathbb{C}^2$, où $(r_1, r_2)$ sont les racines du polynôme caractéristique.
            \item Si $\Delta=0$, alors les solutions sont les applications de la forme $t\mapsto (\lambda t +\mu)e^{rt}$ pour  $(\lambda, \mu)\in \mathbb{C}^2$, où $r$ est la racine (double) du polynôme caractéristique.
        \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex]Solutions réelles de de $y''+ay'+by=0$ [/latex]
A: [latex] Soit $\Delta$ le discriminant de l'équation caractéristique $X^2+aX+b$
$a,b,c$ sont des réels. On cherche les solutions à valeurs réelles :
        \begin{enumerate}
            \item Si $\Delta>0$, alors les solutions sont les applications de la forme $t\mapsto \lambda e^{r_1t}+\mu e^{r_2t}$ pour $(\lambda, \mu)\in \mathbb{R}^2$, où $(r_1, r_2)$ sont les racines (réelles) du polynôme caractéristique.
            \item Si $\Delta=0$, alors les solutions sont les applications de la forme $t\mapsto (\lambda t+\mu)e^{rt}$ pour $(\lambda, \mu)\in \mathbb{R}^2$, où $r$ est la racine (double réelle) du polynôme caractéristique.
            \item Si $\Delta<0$ alors les deux racines du polynôme caractéristique sont des complexes conjugués de la forme $r\pm i\omega$, où $r\in \mathbb{R}$ et $\omega \in \mathbb{R}^*_+$. Alors les solutions sont les applications de la forme $t\mapsto \left[\lambda \cos(\omega t)+\mu \sin(\omega t)\right]e^{rt}$, $(\lambda, \mu)\in \mathbb{R}^2$. Ce sont aussi les applications de la forme $t\mapsto \alpha \cos(\omega t+\varphi)e^{rt}$, où $\alpha\in \mathbb{R}^+$, et $\varphi\in ]-\pi, \pi]$.
        \end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex] Forme d'une solution particulière de
$   y''+ay'+by=P(t) e^{\alpha t}$ avec $\alpha\in \mathbb{K}$ et $P$ un polynôme de degré $k$.
[/latex]
A: [latex] on cherche une solution particulière de la forme $y_0=Q(t)e^{\alpha t}$ avec $Q$ de degré $\begin{cases}
        k & \text{ si $\alpha$ n'est pas racine de l'eq. caract.}\\
        k+1 & \text{ si $\alpha$ est racine simple de l'eq. caract.}\\
        k+2 & \text{ si $\alpha$ est racine double de l'eq. caract.}
    \end{cases}$ [/latex]