Title: Mathématiques-PTSI / Primitives et intégration

Q: [latex] Continuité d'une fonction à valeurs complexes [/latex]
A: [latex] Soit $a\in I$. On dit que $f$ est \emph{continue} \emph{en $a$} si $\pRe(f)$ et $\pIm(f)$ le sont. [/latex]

Q: [latex] Dérivabilité d'une fonction à valeurs complexes [/latex]
A: [latex] Soit $a\in I$. On dit que $f$ est \emph{dérivable} \emph{en $a$} si $\pRe(f)$ et $\pIm(f)$ le sont. On note $f'(a)$ le complexe $f'(a)=(\pRe(f))'(a)+i (\pIm(f))'(a)$. [/latex]

Q: [latex] Dérviée de  $x\mapsto e^{\varphi(x)}$ pour $\varphi \in \mathscr{D}(I,\mathbb{K})$ [/latex]
A: [latex] Elle est dérivable sur $I$ de dérivée l'application $x\mapsto \varphi'(x)e^{\varphi(x)}$ [/latex]

Q: [latex] Définition d'une primitive de $f:I\to \mathbb{K}$.[/latex]
A: [latex] On dit que $F:I\to \mathbb{K}$ est \textbf{une} \emph{primitive} de $f$ si, et seulement si, $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$. [/latex]

Q: [latex] Ensemble des primitives d'une fonction $f$ [/latex]
A: [latex] Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\{F+\lambda |\lambda \in \mathbb{K}\}$ est l'ensemble de toutes les primitives de $f$. [/latex]

Q: [latex] Intégrale de $a$ à $b$ de $f$ [/latex]
A: [latex] Pour une fonction $f$ définie et continue sur $I$.
Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$. On appelle \emph{intégrale de $a$ à $b$ de $f$}, le réel $F(b)-F(a)$, noté $\int_a^bf(x)\dd x$.
    Ainsi,
    \[\int_a^bf(x)\dd x= F(b)-F(a)=\left[F(x)\right]_a^b.\]
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Q: [latex] Interprétation de l'intégrale d'une fonction $f$ [/latex]
A: [latex] Soit $f$ une fonction \textbf{positive} et continue sur $I$, $a\in I$ et $b\in I$ avec $a<b$. On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine $D$ plan délimité par la courbe représentative de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=a$ et $x=b$: $D=\{M(x;y),\ a\leq x \leq b \text{ et } 0\leq y \leq f(x)\}$.
        Alors \[\mathcal{A}=  \int_a^bf(x)\dd x \text{ u.a.}\]
Si $f$ change de signe, il faut "signer" les aires.
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Q: [latex] Intégrale de $f\in \mathscr{C}(I,\mathbb{C})$ sur $[a,b]$. [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{intégrale de $f$ sur $[a,b]$}, le complexe \[\int_a^b f(t)\dd t = \int_{a}^{b}\pRe(f)(t)\dd t +i \int_{a}^{b}\pIm(f)(t)\dd t.\] [/latex]

Q: [latex] Théorème fondamental de l'analyse [/latex]
A: [latex] Soient $f\in \mathscr{C}(I,\mathbb{K})$ et $a\in I$. La fonction $f$ admet une primitive.\\
Soit $A\in \mathbb{K}$. La fonction $\fonction{F}{I}{\mathbb{K}}{x}{A+\int_a^x f(t)\dd t}$ est la seule primitive de $f$ telle que $F(a)=A$.
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Q: [latex] Dérivée de $x\mapsto \int_a^x f(t) \dd t $ [/latex]
A: [latex] C'est la fonction $f$. [/latex]

Q: [latex] Intégration par parties [/latex]
A: [latex] Soient $u$ et $v\in \mathscr{C}^1(I,\mathbb{K})$ et $a,b\in I$. Alors \[\int_a^b u'v=\left[uv\right]_a^b-\int_a^buv'.\] [/latex]

Q: [latex] Changement de variable [/latex]
A: [latex] Soit $\varphi \in \mathscr{C}^1(I,\mathbb{R})$ et $f\in \mathscr{C}(J,\mathbb{K})$, où $J$ est un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$.
    On suppose que $\varphi(I)\subset J$. Soient $a,b\in I$. Alors \[\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(t)\dd t =\int_a^b (f\circ \varphi)(u)\varphi'(u)\dd u.\] [/latex]