Title: Mathématiques-PTSI / Forme trigonométrique d'un nombre complexe

Q: [latex] Ensemble des nombres complexes de module 1 [/latex]
A: [latex] $\mathbb{U}=\{z\in \mathbb{C}| \abs{z}=1\} $ [/latex]

Q: [latex] Formules d'Euler [/latex]
A: [latex] $\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta} }{2}$
$\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta} }{2i}$
 [/latex]

Q: [latex]Si $t=\tan \frac{\theta}{2}$ est bien défini, alors on a $e^{i\theta}=$  [/latex]
A: [latex] $\dfrac{(1+it)^2}{1+t^2}$ [/latex]

Q: [latex] Paramétrage de $\mathbb{U}$ [/latex]
A: [latex] Pour tout nombre complexe $z$,
$z\in \mathbb{U}\iff \exists \theta \in \mathbb{R},\, z=e^{i\theta}$ [/latex]

Q: [latex] $\forall (\theta, \theta')\in \mathbb{R}^2, \, e^{i\theta}=e^{i\theta'}\iff$ [/latex]
A: [latex] $\theta= \theta'[2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul [/latex]
A: [latex] $z=\abs{z}e^{i\theta}$ avec $\theta$ un argument de $z$. [/latex]

Q: [latex] Argument d'un nombre complexe $z$ non nul [/latex]
A: [latex] $\frac{z}{\abs{z}}\in \mathbb{U}$, donc il existe $\theta\in \mathbb{R}$ vérifiant $\frac{z}{\abs{z}}=e^{i\theta}$, c'est à dire $z=\abs{z}e^{i\theta}$.
Le réel $\theta$ est alors appelé \textbf{un} \emph{argument} de $z$, noté $\arg(z)$. Il est unique à $2\pi$ près. [/latex]

Q: [latex] Interprétation géométrique de $arg(z)$ [/latex]
A: [latex] Soit $M$ le point d'affixe $z$, $(\vecteur{i}, \vecteur{OM})=arg(z)[2\pi]$, pour $M\neq O$. [/latex]

Q: [latex] Pour $z\in \mathbb{C}^*$, $\arg(\overline{z})=$ [/latex]
A: [latex] $-\arg(z)[2\pi] $[/latex]

Q: [latex]Pour $z,z'\in \mathbb{C}^*$, $\arg(zz')=$  [/latex]
A: [latex] $\arg(z)+\arg(z')[2\pi]$[/latex]

Q: [latex] Pour $z\in \mathbb{C}^*$, $\arg(1/z)=$[/latex]
A: [latex] $-\arg(z)[2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] Pour $z,z'\in \mathbb{C}^*$, $\arg(\frac{z}{z'})=$ [/latex]
A: [latex] $\arg(z)-\arg(z')[2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] Définition d'une racine $n$-ème de $t$ [/latex]
A: [latex] Tout complexe $z$ tel que $z^n=t$ [/latex]

Q: [latex] Racines $n$-èmes de l'unité [/latex]
A: [latex] $\mathbb{U}_n=\{z\in \mathbb{C}| z^n=1\}$  [/latex]

Q: [latex] Argument principal de $z$ non nul [/latex]
A: [latex] L'unique argument $\theta$ de $z$ avec $\theta\in ]-\pi, \pi]$ [/latex]

Q: [latex]Déterminer la forme des racines $n$ ièmes de l'unité.[/latex]
A: [latex] $\mathbb{U}_n=\{ e^{\frac{2ik\pi}{n} }| k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\}=\{ (e^{\frac{2i\pi}{n} })^k| k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket\}$ [/latex]

Q: [latex] Déterminer l'ensemble des racines $n$-ièmes d'un nombre complexe $re^{i\theta}$ [/latex]
A: [latex] $\{ \sqrt[n]{r}\times e^{(\frac{i\theta}{n}+\frac{2ik\pi}{n})}, \quad k \in \llbracket 0, n-1 \rrbracket. \}$  [/latex]

Q: [latex] Interprétation géométrique des racines $n$-ièmes de l'unité. [/latex]
A: [latex] Soit $n\geq 3$. Posons $z_k=e^{\frac{2ik\pi}{n}}$ et notons $A_k$ le point d'affixe $z_k$ pour $0\leq k \leq n$. Alors $A_0A_1\dots A_n$ est un polygone régulier à $n$ côtés. [/latex]

Q: [latex] Définition de l'exponentielle complexe [/latex]
A: [latex] Soit $z\in \mathbb{C}$, donné sous forme algébrique $z=x+iy$. On appelle \emph{exponentielle de $z$}, notée $e^z$ le nombre complexe $e^z=e^xe^{iy}=e^x(\cos(y)+i\sin(y))$. [/latex]

Q: [latex] Module et argument de $e^z$ pour $z\in \mathbb{C}$ [/latex]
A: [latex] $\abs{e^z}=e^{\pRe(z)}\quad \arg(e^z)=\pIm(z)[2\pi] $ [/latex]

Q: [latex] L'exponentielle complexe est-elle périodique ? [/latex]
A: [latex] Oui, elle est $2i\pi$ périodique. [/latex]

Q: [latex] Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts. $(AB)\parallel (CD)$ si, et seulement si, [/latex]
A: [latex] $ \dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\in \mathbb{R}$ [/latex]

Q: [latex] Soient $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points distincts.
 $(AB)\bot (CD)$ si, et seulement si, [/latex]
A: [latex] $\dfrac{z_B-z_A}{z_D-z_C}\in i\mathbb{R}$ [/latex]

Q: [latex] Translation de vecteur $\vecteur{u}$ d'affixe $b$ [/latex]
A: [latex] $z\mapsto z+b$ [/latex]

Q: [latex] Symétrie centrale de centre $O$ [/latex]
A: [latex] $z\mapsto -z$ [/latex]

Q: [latex] Symétrie par rapport à l'axe des abscisses [/latex]
A: [latex] $z\mapsto \overline{z}$ [/latex]

Q: [latex] Rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ [/latex]
A: [latex] $z\mapsto e^{i\theta}z$ [/latex]

Q: [latex] Homothétie de centre $O$ et de rapport $k$, $k\in \mathbb{R}^*$ [/latex]
A: [latex] $z\mapsto kz$ [/latex]

Q: [latex] Soit $\theta \in \mathbb{R}$, $ e^{i\theta} =$ [/latex]
A: [latex] Soit $\theta \in \mathbb{R}$, $ e^{i\theta} =\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. [/latex]

Q: [latex] Soit $\theta \in \mathbb{R}$, $ [...]=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. [/latex]
A: [latex] Soit $\theta \in \mathbb{R}$, $ e^{i\theta} =\cos(\theta)+i\sin(\theta)$. [/latex]

Q: [latex] $\forall (\theta, \theta')\in \mathbb{R}^2$,  $ e^{i(\theta+\theta')} = [...]$ [/latex]
A: [latex] $\forall (\theta, \theta')\in \mathbb{R}^2$,  $ e^{i(\theta+\theta')} = e^{i\theta}e^{i\theta'} $ [/latex]

Q: [latex] $\forall (\theta, \theta')\in \mathbb{R}^2$,  $ [...]= e^{i\theta}e^{i\theta'} $ [/latex]
A: [latex] $\forall (\theta, \theta')\in \mathbb{R}^2$,  $ e^{i(\theta+\theta')} = e^{i\theta}e^{i\theta'} $ [/latex]

Q: [latex] $\forall \theta\in \mathbb{R}$, $ \overline{e^{i\theta} } = [...]  $ [/latex]
A: [latex] $\forall \theta\in \mathbb{R}$, $ \overline{e^{i\theta} } = e^{-i\theta} = \dfrac{1}{e^{i\theta} }  $ [/latex]

Q: [latex] $\forall \theta\in \mathbb{R}$, $  e^{-i\theta} =[...]  $ [/latex]
A: [latex] $\forall \theta\in \mathbb{R}$, $ \overline{e^{i\theta} } = e^{-i\theta} = \dfrac{1}{e^{i\theta} }  $ [/latex]

Q: [latex] $\forall \theta\in \mathbb{R}$, $ \dfrac{1}{e^{i\theta} }=[...]  $ [/latex]
A: [latex] $\forall \theta\in \mathbb{R}$, $ \overline{e^{i\theta} } = e^{-i\theta} = \dfrac{1}{e^{i\theta} }  $ [/latex]

Q: [latex] Soit $n\in \mathbb{Z}$ , $\theta\in \mathbb{R}$,
        $ e^{in\theta} =[...]  $
[/latex]
A: [latex] Soit $n\in \mathbb{Z}$ , $\theta\in \mathbb{R}$,
        $ e^{in\theta} = \left(e^{i\theta}\right)^n  $
[/latex]

Q: [latex] Soit $n\in \mathbb{Z}$ , $\theta\in \mathbb{R}$,
        $ [...] = \left(e^{i\theta}\right)^n  $
[/latex]
A: [latex] Soit $n\in \mathbb{Z}$ , $\theta\in \mathbb{R}$,
        $ e^{in\theta} = \left(e^{i\theta}\right)^n  $
[/latex]

Q: [latex] Soit $n\in \mathbb{Z}$ , $\theta\in \mathbb{R}$,
$  \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) = [...] $
[/latex]
A: [latex] Soit $n\in \mathbb{Z}$ , $\theta\in \mathbb{R}$,
$  \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) = \left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n $
[/latex]

Q: [latex] Soit $n\in \mathbb{Z}$ , $\theta\in \mathbb{R}$,
$  [...] = \left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n $
[/latex]
A: [latex] Soit $n\in \mathbb{Z}$ , $\theta\in \mathbb{R}$,
$  \cos(n\theta)+i\sin(n\theta) = \left(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\right)^n $
[/latex]

Q: [latex] Pour tout $z,z'\in\mathbb{C}$, $ e^{z+z'} = [...] $. [/latex]
A: [latex] Pour tout $z,z'\in\mathbb{C}$, $ e^{z+z'} = e^ze^{z'} $. [/latex]

Q: [latex] Pour tout $z,z'\in\mathbb{C}$, $[...] = e^ze^{z'} $. [/latex]
A: [latex] Pour tout $z,z'\in\mathbb{C}$, $ e^{z+z'} = e^ze^{z'} $. [/latex]

Q: [latex] Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes non nuls. On note $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ les vecteurs d'affixes respectives $z$ et $z'$. Alors
$ \abs{\dfrac{z_2}{z_1} } = [...] $  [/latex]
A: [latex] Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes non nuls. On note $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ les vecteurs d'affixes respectives $z$ et $z'$. Alors
$ \abs{\dfrac{z_2}{z_1} } = \dfrac{\| \vecteur{u_2}\|}{\| \vecteur{u_1}\|} $  [/latex]

Q: [latex] Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes non nuls. On note $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ les vecteurs d'affixes respectives $z$ et $z'$. Alors
$ [...] = \dfrac{\| \vecteur{u_2}\|}{\| \vecteur{u_1}\|} $  [/latex]
A: [latex] Soient $z_1$ et $z_2$ deux complexes non nuls. On note $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ les vecteurs d'affixes respectives $z$ et $z'$. Alors
$ \abs{\dfrac{z_2}{z_1} } = \dfrac{\| \vecteur{u_2}\|}{\| \vecteur{u_1}\|} $  [/latex]

Q: [latex] Soient $z$ et $z'$ deux complexes non nuls. On note $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ les vecteurs d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$. Alors
   $\arg\left(\dfrac{z_2}{z_1}\right) =[...] $ [/latex]
A: [latex] Soient $z$ et $z'$ deux complexes non nuls. On note $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ les vecteurs d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$. Alors
   $\arg\left(\dfrac{z_2}{z_1}\right) =(\vecteur{u_1}, \vecteur{u_2})[2\pi] $ [/latex]

Q: [latex] Soient $z$ et $z'$ deux complexes non nuls. On note $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ les vecteurs d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$. Alors
   $[...] =(\vecteur{u_1}, \vecteur{u_2})[2\pi] $ [/latex]
A: [latex] Soient $z$ et $z'$ deux complexes non nuls. On note $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ les vecteurs d'affixes respectives $z_1$ et $z_2$. Alors
   $\arg\left(\dfrac{z_2}{z_1}\right) =(\vecteur{u_1}, \vecteur{u_2})[2\pi] $ [/latex]