Title: Mathématiques-PTSI / Applications d'un ensemble dans un autre

Q: [latex]Ensemble de définition d'une fonction $f$.[/latex]
A: [latex]L'ensemble de tous les nombres $x$ pour lesquels le nombre $f(x)$ existe /est défini[/latex]

Q: [latex]Égalité entre deux applications [/latex]
A: [latex]Deux applications $f$ et $g$ sont égales si, et seulement si,
\begin{enumerate}
\item elles ont même ensemble de départ;
\item elles ont même ensemble d'arrivée;
\item et $\forall x \in E, \, f(x)=g(x)$.
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex]Graphe de $f:E\to F$.
[/latex]
A: [latex]La partie de $E\times F$ définie par $\mathcal{C}_f=\{(x,f(x))| x \in E\}$.[/latex]

Q: [latex]Image d'une application $f:E\to F$ [/latex]
A: [latex]La partie de $F$ définie par $Im(f)=f(E)=\{f(x)|x\in E\}$.[/latex]

Q: [latex]Notation pour l'ensemble de toutes les applications de $E$ dans $F$ [/latex]
A: [latex] $\mathcal{F}(E,F)$, ou $F^E$. En particulier, si $F=E$, on note $\mathcal{F}(E)$ [/latex]

Q: [latex]Application identité de $E$.[/latex]
A: [latex] $\begin{array}[t]{lrcl}
id_E: & E & \longrightarrow & E \\& x & \longmapsto & x \end{array}$  [/latex]

Q: [latex]Application indicatrice d'un ensemble $A$.[/latex]
A: [latex] $\fonction{\mathbb{1}_A}{E}{\{0,1\}}{x}{ \begin{cases}
1 & \text{si }x\in A \\ 0 & \text{sinon}\end{cases} }$ [/latex]

Q: [latex]Restriction de $f:E\to F$ au départ à $A$ et à l'arrivée à $B$.[/latex]
A: [latex] $ \fonction{f_{|A}^{|B}}{A}{B}{x}{f_{|A}^{|B}(x)=f(x)} $ [/latex]

Q: [latex]Prolongement de $f:E\to F$ à $G$.[/latex]
A: [latex]Toute application $g\in \mathcal{F}(G,F)$ telle que $g_{|E}=f$ [/latex]

Q: [latex] Composée de deux fonctions.[/latex]
A: [latex] Soient $E$, $F$, $G$ trois ensembles, $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $g\in \mathcal{F}(F,G)$.
$ \fonction{g\circ f}{E}{G}{x}{g\circ f (x)=g(f(x)) } $ [/latex]

Q: [latex] Composition d'une application $f:E\to F$ et de $id_E$ ou $id_F$ [/latex]
A: [latex] $ \begin{cases}
f\circ id_E=f \\ id_F\circ f = f
\end{cases} $ [/latex]

Q: [latex]Puissance d'une fonction[/latex]
A: [latex]Soient $E$ un ensemble, $f\in \mathcal{F}(E)$ et $n\in \mathbb{N}$. On pose
$f^n=\begin{cases}
id_E & \text{si }n=0\\
\underbrace{f\circ f \dots \circ f}_{n \text{ fois} } & \text{sinon}
\end{cases} $ [/latex]

Q: [latex] Définitions de la surjectivité de $f:E\to F$. [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
\item Définition en français : tout élément de $F$ possède au moins un antécédent par $f$ dans $E$.
\item Définition en maths : $\forall y \in F,\, \exists x\in E,\, f(x)=y$.
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Définitions de l'injectivité de $f:E\to F$.[/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
\item Définition en français : tout élément de $F$ possède au plus un antécédent par $f$ dans $E$.
\item Définition en maths : $\forall (x_1,x_2)\in E^2, \, f(x_1)=f(x_2)\implies x_1=x_2$.
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Que dire de la composée de deux applications surjectives ? [/latex]
A: [latex] Elle est surjective.[/latex]

Q: [latex] Que dire de la composée de deux applications injectives ? [/latex]
A: [latex] Elle est injective.[/latex]

Q: [latex]Si $g\circ f$ est surjective, alors ...[/latex]
A: [latex]$g$ est surjective.[/latex]

Q: [latex]Si $g\circ f$ est injective, alors...[/latex]
A: [latex] $f$ est injective.[/latex]

Q: [latex] Définitions de la bijectivité de $f:E\to F$.[/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
\item Définition en français : tout élément de $F$ possède un unique antécédent par $f$ dans $E$.
\item Définition en maths : $\forall y \in F, \, \exists ! x\in E, \, f(x)=y$.
\item Autre définition : $f$ est surjective et injective.
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex]Si $f\in \mathcal{F}(E,F)$ est bijective. Comment passer de $f$ à $f^{-1}$ ?[/latex]
A: [latex] $ \forall (x,y)\in E\times F, \, f(x)=y \iff x=f^{-1}(y)$.[/latex]

Q: [latex]Si $f\in \mathcal{F}(E,F)$ est bijective. Composées de $f$ et $f^{-1}$.[/latex]
A: [latex] $ f^{-1}\circ f= id_E$ et $f\circ f^{-1}=id_F $ [/latex]

Q: [latex]Que dire de la composée de deux application bijectives ? [/latex]
A: [latex]Si $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $g\in \mathcal{F}(F,G)$ sont toutes les deux bijectives, alors $g\circ f$ est aussi bijective et $(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$ (théorème des chaussettes et des chaussures) [/latex]

Q: [latex] Image directe d'un ensemble $A$ par $f:E\to F$.[/latex]
A: [latex]Pour $A$ une partie de $E$, c'est la partie de $F$ définie par
\[f(A)=\{f(x)|x\in A \}\]
On peut donc écrire $$y\in f(A) \iff \exists x\in A, \, f(x)=y$$
 [/latex]

Q: [latex] Soient $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $A$,$A'$ deux parties de $E$. \\Si $A\subset A'$, que dire de $f(A)$ et $f(A')$ ? [/latex]
A: [latex] $ f(A)\subset f(A') $ [/latex]

Q: [latex]Soient $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $A$,$A'$ deux parties de $E$.
 Que dire de $f(A\cup A')$ ?[/latex]
A: [latex] $ f(A\cup A')=f(A)\cup f(A') $ [/latex]

Q: [latex]Soient $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $A$,$A'$ deux parties de $E$.
 Que dire de $f(A\cap A')$ ?[/latex]
A: [latex] $ f(A\cap A')\textcolor{red}{\subset} f(A)\cap f(A') $ [/latex]

Q: [latex] Image réciproque d'un ensemble $B$ par $f:E\to F$.[/latex]
A: [latex] Pour $B$ une partie de $F$, c'est la partie de $E$ définie par\[f^{-1}(B)=\{x\in E | f(x)\in B\}\]
On peut donc écrire
\[x\in f^{-1}(B)\iff f(x)\in B\]
 [/latex]

Q: [latex]Soient $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $B$ une partie de $F$.
 Lien entre $f(f^{-1}(B))$ et $B$ [/latex]
A: [latex] $f(f^{-1}(B))\subset B$ [/latex]

Q: [latex]Soient $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $A$ une partie de $E$.
 Lien entre $f^{-1}(f(A))$ et $A$ [/latex]
A: [latex] $ A\subset f^{-1}(f(A)) $ [/latex]

Q: [latex]Soient $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $B$,$B'$ deux parties de $F$. Si $B\subset B'$ alors ... [/latex]
A: [latex] $f^{-1}(B)\subset f^{-1}(B')$ [/latex]

Q: [latex]Soient $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $B$,$B'$ deux parties de $F$.
Que dire de $f^{-1}(B\cup B')$ ?[/latex]
A: [latex] $ f^{-1}(B\cup B')=f^{-1}(B)\cup f^{-1}(B') $ [/latex]

Q: [latex]Soient $f\in \mathcal{F}(E,F)$ et $B$,$B'$ deux parties de $F$.
Que dire de $f^{-1}(B\cap B')$ ?[/latex]
A: [latex] $ f^{-1}(B\cap B')=f^{-1}(B)\cap f^{-1}(B') $ [/latex]

Q: [latex] Définition de $\bigcup_{i\in I}A_i$ [/latex]
A: [latex]
\[\bigcup_{i\in I}A_i=\{x\in E| \exists i\in I,\, x\in A_i \}\][/latex]

Q: [latex]Définition de $\bigcap_{i\in I}A_i$ [/latex]
A: [latex]\[ \bigcap_{i\in I}A_i=\{x\in E| \forall i\in I,\, x\in A_i \}\][/latex]