Title: Mathématiques-PTSI / Analyse asymptotique

Q: [latex] Relation de domination entre deux fonctions [/latex]
A: [latex] On suppose que $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, sauf éventuellement en $a$. On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$, ce qui se note $f=\mathcal{O}_a(g)$, ou $f(x)=\underset{x\to a}{\mathcal{O}}(g(x))$, et se lit "$f$ est un grand $O$ de $g$ au voisinage de $a$", lorsque $\frac{f}{g}$ est bornée au voisinage de $a$.[/latex]

Q: [latex] Relation de négligeabilité entre deux fonctions [/latex]
A: [latex] On suppose que $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, sauf éventuellement en $a$. On dit que $f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$, ce qui se note $f= o_a(g)$ ou $f(x){=}\underset{x\to a}{o}(g(x))$, et se lit "$f$ est un petit $o$ de $g$ au voisinage de $a$"  lorsque $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0$.[/latex]

Q: [latex] Lien entre $o$ et $\mathcal{O}$[/latex]
A: [latex] petit $o$ implique grand $\mathcal{O}$[/latex]

Q: [latex] $f(x)=\underset{x\to a}{\mathcal{O}}(1)$ [/latex]
A: [latex]  $f$ est bornée au voisinage de $a$.
[/latex]

Q: [latex] $f(x)=\underset{x\to a}{o}(1)$ [/latex]
A: [latex] $\lim_{x\to a} f(x)=0$[/latex]

Q: [latex] Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, tels que $\alpha < \beta$ Relation de négligeabilité entre $x\mapsto x^{\alpha}$ et $x\mapsto x^{\beta}$ en $+\infty$[/latex]
A: [latex] $x^{\alpha}{=}\underset{x\to +\infty}{o}(x^{\beta})$. [/latex]

Q: [latex] Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, tels que $\alpha < \beta$ Relation de négligeabilité entre $x\mapsto x^{\alpha}$ et $x\mapsto x^{\beta}$ en $0$[/latex]
A: [latex] $x^\beta =\po{x}{0}(x^{\alpha})$ [/latex]

Q: [latex] Soient $a,b\in \mathbb{R}$, tels que $0<a<b$. Relation de négligeabilité en $+\infty$ de $x\mapsto a^x$ et $x\mapsto b^x$[/latex]
A: [latex]$a^x=\po{x}{+\infty}(b^x)$  [/latex]

Q: [latex]       Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, tels que $\alpha >0$. Relation de négligeabilité en $+\infty$ entre $\ln^{\beta}$ et $x\mapsto x^{\alpha}$ [/latex]
A: [latex] $\abs{\ln(x)}^{\beta}=\po{x}{+\infty}(x^{\alpha})$ [/latex]

Q: [latex] Soient $\alpha, a\in \mathbb{R}$ avec $a>1$. Relation de négligeabilité en $+\infty$ entre $x\mapsto x^{\alpha}$ et $x\mapsto a^x$[/latex]
A: [latex] $x^{\alpha}=\po{x}{+\infty}(a^x)$[/latex]

Q: [latex] Soient $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$, tels que $\alpha >0$. Relation de négligeabilité en $0$ de $\ln^{\beta}$ et $x\mapsto x^{\alpha}$[/latex]
A: [latex] $x^{\alpha}=\po{x}{0}(\abs{\ln(x)}^{\beta})$ [/latex]

Q: [latex] Relation d'équivalence entre deux fonctions [/latex]
A: [latex] On se place dans le cas particulier où $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, sauf éventuellement en $a$. \\
    On dit que $f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$, ce qui se note $f\sim_a g$, ou $f(x)\equi{x}{a}g(x)$, et se lit "$f$ est équivalente à $g$ au voisinage de $a$", lorsque $\lim_a \frac{f}{g}=1$.[/latex]

Q: [latex] Lien entre $\sim$ et $\mathcal{O}$ [/latex]
A: [latex] $\sim$ implique $\mathcal{O}$ [/latex]

Q: [latex] Relation d'équivalence et limite [/latex]
A: [latex] \begin{enumerate}
        \item Si $f(x)\sim_{x\to a} g(x)$, alors, soit $f$ et $g$ ont toutes les deux une limite en $a$ et elles sont égales, soit aucune des deux n'a de limite en $a$.
        \item Si $\lim_{x\to a} f=\ell \in \mathbb{R}^*$, alors $f(x)\sim_{x\to a} \ell$.
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Multiplication par un réel : Si $f(x)=\underset{x\to a}{o}(g(x))$ alors [...] [/latex]
A: [latex] $f(x)=\underset{x\to a}{o}(\lambda g(x))$ (si $\lambda\neq 0)$ et $\lambda f(x)= \underset{x\to a}{o}(g(x))$[/latex]

Q: [latex] Somme : si $f(x)=\po{x}{a}(g(x))$ et $h(x)=\po{x}{a}(g(x))$, alors [/latex]
A: [latex] $f(x)+h(x)=\po{x}{a}(g(x)) $ [/latex]

Q: [latex] Produit par une fonction : si $f(x)=\po{x}{a}(g(x))$ alors [/latex]
A: [latex] $f(x)h(x)=\po{x}{a}(g(x)h(x))$ [/latex]

Q: [latex] Produit : si $f(x)=\po{x}{a}(g(x))$ et $h(x)=\po{x}{a}(k(x))$ alors  [/latex]
A: [latex] $f(x)h(x)=\po{x}{a}(g(x)k(x))$[/latex]

Q: [latex] Changement de variable : si $b\in \overline{\R}$ et si $\varphi$ est une fonction définie au voisinage de $b$ et à valeurs dans $I$, et telle que $\lim_b \varphi= a$ et si $f(x)= \po{x}{a}(g(x))$ , alors on a  [/latex]
A: [latex] $(f\circ \varphi)(x) = \po{x}{b}((g\circ \varphi)(x)$ [/latex]

Q: [latex] La relation $\sim$ est [/latex]
A: [latex] réflexive, symétrique, transitive [/latex]

Q: [latex] Multiplication par un réel non nul : Si $f\sim_ag$ alors [/latex]
A: [latex] $\lambda f\sim _a \lambda g$, si $\lambda \neq 0$ [/latex]

Q: [latex] Somme : si $f\sim_ag $ et $h\sim_a g$, alors [/latex]
A: [latex] $f+h\sim_a 2g$ [/latex]

Q: [latex] Si $f(x)=\po{x}{a}(g(x))$ et $g\sim_ah$ alors [/latex]
A: [latex] $f(x)= \po{x}{a}(h(x))$ [/latex]

Q: [latex] Que peut-on dire du signe de deux fonctions équivalentes au voisinage de $a$ ? [/latex]
A: [latex] Deux fonctions équivalentes au voisinage de $a$ ont le même signe au voisinage de $a$. [/latex]

Q: [latex] Produit : si $f\sim_a g$ et $h\sim_a k$, alors [/latex]
A: [latex] $fh\sim_a gk$ [/latex]

Q: [latex] Passage à l'inverse : si $f\sim_a g$ et $f$ et $g$ ne s'annulent pas au voisinage de $a$, alors  [/latex]
A: [latex] $\frac{1}{f}\sim_a \frac{1}{g}$ [/latex]

Q: [latex] Puissances : pour tout $\alpha\in \R$, si $f\sim_a g$ et si $f>0$ au voisinage de $a$, alors  [/latex]
A: [latex] $f^{\alpha}\sim_ag^{\alpha}$
ATTENTION : $\alpha$ ne dépend pas de $x$[/latex]

Q: [latex] Changement de variable : si $b\in \overline{\R}$ et si $\varphi$ est une fonction définie au voisinage de $b$ et à valeurs dans $I$, et telle que $\lim_b \varphi= a$ et si $f\sim_a g$ , alors on a [/latex]
A: [latex] $(f\circ \varphi)(x) \sim_{x\to b} (g\circ \varphi)(x)$ [/latex]

Q: [latex] Si $f\leq g\leq h$ et $f\sim_a h$ alors  [/latex]
A: [latex] $g\sim_a f $ [/latex]

Q: [latex] Développement limité d'ordre $n$ au voisinage d'un point $x_0\in I$[/latex]
A: [latex] On dit que $f$ admet un \emph{développement limité d'ordre $n$ au voisinage d'un point $x_0\in I$}, lorsqu'il existe des réels $a_0,\dots, a_n$ tels que \[f(x){=}a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots +a_n(x-x_0)^n+\underset{x\to x_0}{o}((x-x_0)^n)  \][/latex]

Q: [latex] Partie principale d'un DL [/latex]
A: [latex] On dit que le polynôme $a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots +a_n(x-x_0)^n$ est la \emph{partie principale ou régulière du DL}, et que le terme $o((x-x_0)^n) $ est son \emph{reste}. [/latex]

Q: [latex] Forme normalisée d'un DL [/latex]
A: [latex] L'écriture
$$f(x){=}(x-x_0)^p(a_p+a_{p+1}(x-x_0)+a_{p+2}(x-x_0)^2+\cdots +a_n(x-x_0)^{n-p}+\underset{x\to x_0}{o}((x-x_0)^{n-p})) $$  avec $a_p\neq 0$ est appelée la \emph{forme normalisée} du DL [/latex]

Q: [latex] Que peut-on dire du DL d'une fonction paire ?[/latex]
A: [latex] Si $f$ est paire et admet un $DL_n(0)$, alors la partie principale de ce $DL$ est un polynôme pair. [/latex]

Q: [latex] Que peut-on dire du DL d'une fonction impaire ? [/latex]
A: [latex] Si $f$ est impaire et admet un $DL_n(0)$, alors la partie principale de ce $DL$ est un polynôme impair. [/latex]

Q: [latex] Formule de Taylor-Young [/latex]
A: [latex] Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^n$ sur $I$, alors $f$ possède un $DL(x_0,n)$ donné par la formule :
    \[f(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\po{x}{x_0}((x-x_0)^n)\]qui s'écrit aussi
    \[f(x_0+h)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}h^k+\po{h}{0}(h^n)\][/latex]

Q: [latex] Si $f$ admet un DL en $x_0$ de la forme
    \[f(x)\underset{x\to x_0}{=}a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+a_k(x-x_0)^k+o((x-x_0)^k)  \] où $k\geq 2$ et $a_k$ est non nul. Que dire de l'allure de la courbe ?  [/latex]
A: [latex] $f$ est dérivable en $x_0$ de dérivée $a_1$. La tangente à sa courbe en $(x_0, f(x_0))$ a pour équation $y=a_1(x-x_0)+a_0$ et la position de sa courbe par rapport à cette tangente est donnée par le signe du terme $a_k(x-x_0)^k$.
En particulier, la courbe traverse la tangente (on dit qu'on a un point d'inflexion) si et seulement si $k$ est impair[/latex]

Q: [latex] Condition suffisante sur les dérivées d'une fonction pour avoir un extremum en un point $x_0$[/latex]
A: [latex] Soit $f$ telle que $f'(x_0)=0$. Si $f''(x_0)\neq 0$ alors $f$ a un extremum local en $x_0$.[/latex]

Q: [latex] Prolongement d'une fonction à l'aide d'un DL[/latex]
A: [latex] Soit $n\in \N$. Si $f$ admet un DL d'ordre $n$ en $a$, alors elle est prolongeable par continuité en $a$ en une fonction $\widetilde{f}$ et la valeur de $\widetilde{f}$ en $a$ est le terme constant du DL de $f$.
De plus, $\widetilde{f}$ admet en $a$ le même $DL$ que $f$. En particulier, si $f$ admet un DL d'ordre au moins un en $a$ alors $\widetilde{f}$ est dérivable en $a$. [/latex]

Q: [latex] $f$ admet une limite finie $\ell$ en $x_0$ si et seulement si [...] [/latex]
A: [latex] $f$ admet un $DL_0(x_0)$ On a alors, $f(x)=\ell+\underset{x\to x_0}{o}(1)$[/latex]

Q: [latex][...] si et seulement si $f$ admet un $DL_0(x_0)$ On a alors, $f(x)=\ell+\underset{x\to x_0}{o}(1)$. [/latex]
A: [latex] $f$ admet une limite finie $\ell$ en $x_0$   [/latex]

Q: [latex] $f$ est continue en $x_0$ si et seulement si $f$ admet un $DL_0(x_0)$. En effet, on a alors $f(x)=f(x_0)+\po{x}{x_0}(1)$. [/latex]
A: [latex]$f$ admet un $DL_0(x_0)$. En effet, on a alors $f(x)=f(x_0)+\po{x}{x_0}(1)$. [/latex]

Q: [latex] [...] si et seulement si  $f$ admet un $DL_0(x_0)$. En effet, on a alors $f(x)=f(x_0)+\po{x}{x_0}(1)$. [/latex]
A: [latex] $f$ est continue en $x_0$[/latex]

Q: [latex] $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si [...] [/latex]
A: [latex]$f$ admet un $DL_1(x_0)$ On a alors $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\po{x}{x_0}(x-x_0)$. [/latex]

Q: [latex] [...] si et seulement si $f$ admet un $DL_1(x_0)$ On a alors $f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\po{x}{x_0}(x-x_0)$. [/latex]
A: [latex] $f$ est dérivable en $x_0$ [/latex]