Title: Mathématiques-PTSI / Calcul matriciel

Q: [latex] Matrice de taille $n\times p$ à valeurs dans $\mathbb{K}$[/latex]
A: [latex] Une famille de $np$ éléments de $\mathbb{K}$, ces éléments étant notés $(a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$, et présentés sous la forme d'un tableau de la manière suivante : \[A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p}\\ \end{pmatrix}\]
        On note $A=(a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$, les $(a_{ij})$ étant les \emph{coefficients} de la matrice $A$. $a_{ij}$ est le coefficient de la $i$ème ligne et de la $j$ème colonne. \\ L'ensemble des matrices de taille $n\times p$ est noté $\mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$. [/latex]

Q: [latex] Matrice carrée d'ordre $n$ [/latex]
A: [latex] Une matrice de taille $n\times n$. On note $\mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices carrées d'ordre $n$.[/latex]

Q: [latex] Matrice nulle d'ordre $n$ [/latex]
A: [latex] la matrice carrée d'ordre $n$ dont tous les coefficients sont nuls. On la note simplement $0$, sans référence à sa taille, s'il n'y a pas d'ambiguïté. [/latex]

Q: [latex] Matrice identité d'ordre $n$ [/latex]
A: [latex] la matrice $(\delta_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. On la note $I_n$. [/latex]

Q: [latex] Matrices élémentaires [/latex]
A: [latex] Pour $i\in \llbracket 1,n\rrbracket$ et $j\in\llbracket 1,p\rrbracket$, on note $E_{i,j}=(\delta_{ki}\times \delta_{lj} )_{k\in \llbracket 1,n\rrbracket, l\in \llbracket 1, p \rrbracket}$, autrement dit un 1 en position $i,j$ et des 0 ailleurs. Ces $np$ matrices forment les \emph{matrices élémentaires} de $\mathscr{M}_{n,p}(\K)$. [/latex]

Q: [latex] Somme de matrices [/latex]
A: [latex] Soient $A=(a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$ et $B=(b_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$ deux matrices de \textbf{même} taille. On appelle \emph{somme de $A$ et $B$} la matrice $(a_{ij}+b_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$, notée $A+B$. [/latex]

Q: [latex] Produit d'une matrice par un scalaire [/latex]
A: [latex] Soient $A=(a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$ et $\lambda \in \mathbb{K}$ un scalaire. On note $\lambda A$ la matrice $(\lambda a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p} $. [/latex]

Q: [latex] Produit de deux matrices [/latex]
A: [latex] Soient $A\in \mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $B\in \mathscr{M}_{p,q}(\mathbb{K})$. On appelle \emph{produit de $A$ par $B$}, noté $AB$ la matrice de $\mathscr{M}_{n,q}(\mathbb{K})$ de coefficients $$\left(\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}\right)_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq q}$$
On fait attention à la taille des matrices !
[/latex]

Q: [latex] Propriétés du produit matriciel [/latex]
A: [latex] \begin{enumerate}
\item associatif
\item bilinéaire
\item NON commutatif
\item la matrice identité est le neutre. Attention à la taille selon qu'on multiplie à gauche ou à droite..
\end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex]Soit $M\in \mathscr{M}_{n,p}(\K)$ et $X=\begin{pmatrix}
    x_1\\ \vdots\\ x_p
\end{pmatrix}$. Alors, en notant $C_1,\cdots, C_p$ les colonnes de $M$, on a \[MX=[...]\] [/latex]
A: [latex]$$MX= \sum_{k=1}^{p}x_kC_k$$[/latex]

Q: [latex]  Soient $A\in \mathscr{M}_{n,p}(\K)$ et $B\in \mathscr{M}_{p,q}(\K)$. Soit $k\in \llbracket 1, q \rrbracket$. Alors la $k$ ème colonne de $AB$ est [...][/latex]
A: [latex]la matrice $AC_k$ où $C_k$ est la $k$ème colonne de $B$.[/latex]

Q: [latex] Produit de deux matrices élémentaires [/latex]
A: [latex] Notons \begin{itemize}
        \item $(E_{ij})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, j\in \llbracket 1, p \rrbracket}$ les matrices élémentaires de $\mathscr{M}_{n,p}(\K)$
        \item $(E'_{ij})_{i\in \llbracket 1,p\rrbracket, j\in \llbracket 1, q \rrbracket}$ les matrices élémentaires de $\mathscr{M}_{p,q}(\K)$
        \item $(E''_{ij})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, j\in \llbracket 1, q \rrbracket}$ les matrices élémentaires de $\mathscr{M}_{n,q}(\K)$
    \end{itemize}
    Soient $(i,j)\in \llbracket 1,n\rrbracket\times \llbracket 1,p\rrbracket$ et $(k,h)\in \llbracket 1,p\rrbracket\times \llbracket 1,q\rrbracket$. Alors
\[E_{ij}\times E'_{kh}=\delta_{jk}E''_{ih}= \begin{cases}         E''_{ih} & \text{si }j=k\\         0_{nq} & \text{sinon.}     \end{cases}\]
  (à retrouver avec un dessin !) [/latex]

Q: [latex] Puissance d'une matrice carrée [/latex]
A: [latex] On définit les \emph{puissances} d'une matrice carrée $M\in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ par récurrence :
    \begin{itemize}
        \item $M^0=I_n$
        \item $M^1=M$
        \item pour tout $k\in \mathbb{N}$, $M^{k+1}=M\times M^k=\underbrace{M\times M\times \dots \times M}_{k+1} \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$.
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Matrice nilpotente [/latex]
A: [latex] Une matrice carrée $A$ est dite \emph{nilpotente} lorsqu'il existe un entier $k\in \N$ tel que $A^k=0$. [/latex]

Q: [latex] Formule du binôme de Newton pour les matrices [/latex]
A: [latex] Soient $A,B\in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ avec \textbf{$AB=BA$}, alors pour $n\in \N$,
$$(A+B)^n=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} A^kB^{n-k}$$
[/latex]

Q: [latex] Matrice inversible [/latex]
A: [latex] Soit $A\in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. On dit que $A$ est \emph{inversible} lorsqu'il existe une matrice $B\in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $AB=BA=I_n$. Dans ce cas, $B$ est unique, et appelée l'inverse de $A$, et notée $A^{-1}$. \\
    On note $\mathrm{GL}_n(\K)$ l'ensemble des matrices inversibles de $\mathscr{M}_n(\K)$, appelé le \emph{groupe linéaire d'ordre $n$.}[/latex]

Q: [latex] Critère et formule d'inversibilité d'une matrice $2\times 2$[/latex]
A: [latex] Pour $(a, b, c,d)\in \mathbb{K}^4$, la matrice $\begin{pmatrix}
    a & b \\ c& d
\end{pmatrix}$ est inversible si, et seulement si, le déterminant est non nul, i.e. $ad-bc\neq 0$. Dans ce cas, \[\begin{pmatrix}     a & b \\ c& d \end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}     d & -b \\ -c& a \end{pmatrix}.\][/latex]

Q: [latex] Inverse d'une matrice inversible [/latex]
A: [latex] Si $A\in \mathrm{GL}_n(\K)$, alors $A^{-1}\in \mathrm{GL}_n(\K)$ et $(A^{-1})^{-1}=A$. [/latex]

Q: [latex] Produit de matrices inversibles [/latex]
A: [latex] Si $A,B\in \mathrm{GL}_n(\K)$, alors $AB\in \mathrm{GL}_n(\K)$ et $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$. [/latex]

Q: [latex] Transposée d'une matrice [/latex]
A: [latex] Soit $A=(a_{i,j})_{i,j}\in \mathscr{M}_{n,p}(\K)$. On appelle \emph{transposée de $A$}, notée $A^T\in \mathscr{M}_{p,n}(\K)$ la matrice $(a_{ji})_{i,j}$. Autrement dit, les lignes de $A$ sont les colonnes de $A^T$ et vice-versa. [/latex]

Q: [latex] $(A+\lambda B)^T=[...]$  [/latex]
A: [latex]$A^T+\lambda B^T$[/latex]

Q: [latex] Si $C\in \mathscr{M}_{p,q}(\K)$, $(AC)^T=[...]$ [/latex]
A: [latex]$C^TA^T$[/latex]

Q: [latex] $(A^T)^T=[...]$ [/latex]
A: [latex]$A$[/latex]

Q: [latex] Si $A$ est inversible, alors $A^T$ est inversible et $(A^{-1})^T=[...]$ [/latex]
A: [latex]$(A^T)^{-1} $[/latex]

Q: [latex] Matrice triangulaire supérieure [/latex]
A: [latex] Une matrice carrée $(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que pour tous $i,j\in [\![1\,;n]\!]$ avec $i> j$, $a_{ij}=0$. [/latex]

Q: [latex] Matrice triangulaire inférieure [/latex]
A: [latex] Une matrice carrée $(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que pour tous $i,j\in [\![1\,;n]\!]$ avec $i< j$, $a_{ij}=0$. [/latex]

Q: [latex] Toute combinaison linéaire de matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est une matrice [...] [/latex]
A: [latex]triangulaire supérieure (resp. inférieure)[/latex]

Q: [latex] Le produit de matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures) est une matrice [...][/latex]
A: [latex] triangulaire supérieure (resp. inférieure). [/latex]

Q: [latex] Critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire [/latex]
A: [latex] Une matrice triangulaire est inversible si, et seulement si, elle n'a aucun zéro sur sa diagonale.
Ce n'est valable que pour les matrices triangulaires ![/latex]

Q: [latex] Matrice diagonale [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{matrice diagonale} toute matrice carrée $(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que pour tous $i,j\in [\![1\,;n]\!]$ avec $i\neq j$, $a_{ij}=0$.\\
    On note $\mathscr{D}_n(\K)$ l'ensemble des matrices diagonales d'ordre $n$. [/latex]

Q: [latex] Matrice scalaire [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{matrice scalaire} toute matrice diagonale donc les coefficients de la diagonale sont tous égaux, i.e. de la forme $\lambda I_n$. [/latex]

Q: [latex] Toute combinaison linéaire de matrices diagonales est une matrice [...][/latex]
A: [latex] diagonale[/latex]

Q: [latex] Le produit de matrices diagonales est une matrice [...][/latex]
A: [latex] diagonale [/latex]

Q: [latex] Pour tout $p\in \mathbb{N}$, $(diag(\lambda_1,\cdots, \lambda_n))^p=[...]$ [/latex]
A: [latex] $diag(\lambda_1^p,\cdots, \lambda_n^p)$[/latex]

Q: [latex] Critère d'inversibilité d'une matrice diagonale [/latex]
A: [latex] Une matrice diagonale est inversible si, et seulement si, elle n'a aucun zéro sur la diagonale. Son inverse est une matrice diagonale. Dans ce cas,
    \[diag(\lambda_1,\cdots, \lambda_n)^{-1}=diag(1/\lambda_1, \cdots, 1/\lambda_n)\] [/latex]

Q: [latex] Matrice symétrique [/latex]
A: [latex] Soit $A\in \mathscr{M}_n(\K)$. $A$ est dite \emph{symétrique} lorsque $A^T=A$, autrement dit
$$\forall i,j \in \llbracket 1,n\rrbracket^2, \, a_{i,j}=a_{j,i}$$
 \\ On note $\mathscr{S}_n(\K)$ l'ensemble des matrices symétriques  [/latex]

Q: [latex] Matrice antisymétrique [/latex]
A: [latex]Soit $A\in \mathscr{M}_n(\K)$. $A$ est dite \emph{antisymétrique} lorsque $A^T=-A$, autrement dit
$$\forall i,j \in \llbracket 1,n\rrbracket^2, \, a_{i,j}=-a_{j,i}$$\\
    On note $\mathscr{A}_n(\K)$ l'ensemble des matrices antisymétriques.  [/latex]

Q: [latex] Coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique[/latex]
A: [latex] Les coefficients diagonaux d'une matrice antisymétrique sont nuls. [/latex]

Q: [latex] Toute combinaison linéaire de matrices symétriques (resp. antisymétriques) est une matrice [...] [/latex]
A: [latex]symétrique (resp. antisymétrique)[/latex]

Q: [latex] Faire l'opération $L_i\leftrightarrow L_j$   [/latex]
A: [latex] Multiplier à gauche par la matrice $\eps_{i,j}=I_n-E_{ii}-E_{jj}+E_{ij}+E_{ji}$ : $\eps_{i,j}A$ [/latex]

Q: [latex] Faire l'opération $L_i\leftarrow \lambda L_i$ [/latex]
A: [latex] Multiplier à gauche par la matrice $\mu_{i}(\lambda)=I_n+(\lambda-1)E_{ii}$ : $\mu_i(\lambda)A$[/latex]

Q: [latex] Faire l'opération $L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j$ [/latex]
A: [latex] Multiplier à gauche par la matrice $\gamma_{i,j}(\lambda)=I_n+\lambda E_{ij}$ : $\gamma_{i,j}(\lambda)A$[/latex]