Title: Mathématiques-PTSI / Continuité

Q: [latex] Continuité en un point [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{continue en $a$} lorsque $\lim_{a}f$ existe. Puisque $a\in I$, on sait que dans ce cas $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}f(a)$. Autrement dit,
    \[\forall \eps >0, \, \exists \eta >0,\, \forall x\in D_f , \, \abs{x-a}\leq \eta \implies \abs{f(x)-f(a)}\leq \eps\] [/latex]

Q: [latex] Continuité sur $I$ [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{continue sur $I$} lorsque $f$ est continue en tout point de $I$.[/latex]

Q: [latex] Continuité à gauche en $a$ [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{continue à gauche} lorsque $f_{| I\cap ]-\infty,a]}$ est continue en $a$, c'est à dire admet une limite en $a$, qui est alors nécessairement $f(a)$. [/latex]

Q: [latex] Continuité à droite en $a$ [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{continue à droite} lorsque $f_{| I\cap [a,+\infty[}$ est continue en $a$, c'est à dire admet une limite en $a$, qui est alors nécessairement $f(a)$. [/latex]

Q: [latex] Lien entre continuité, continuité à gauche et à droite[/latex]
A: [latex] $f$ est continue en $a$ si, et seulement si, $f$ est continue à gauche et à droite en $a$. [/latex]

Q: [latex] Prolongement par continuité[/latex]
A: [latex] Soit $a\in I$ et $f:I\setminus \{a\} \to \mathbb{R}$. On dit que $f$ est \emph{prolongeable par continuité en $a$} lorsqu'il existe une application $\tilde{f}:I\to \mathbb{R}$ qui coïncide avec $f$ sur $I\setminus \{a\}$ et qui est continue en $a$. [/latex]

Q: [latex] CNS pour un prolongement par continuité [/latex]
A: [latex] Soit $a\in I$ et $f:I\setminus \{a\} \to \mathbb{R}$. $f$ est prolongeable par continuité en $a$ si, et seulement si, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe \textbf{et est finie}. Dans ce cas, le prolongement est unique, noté $\tilde{f}$ et défini par
$$\fonction{\tilde{f}}{I}{\mathbb{R}}{x}{\begin{cases}f(x)& \text{si }x\neq a\\
\lim_{x\to a} f(x) & \text{si }x=a
\end{cases}}$$
    [/latex]

Q: [latex] Conditions suffisantes pour un prolongement par continuité [/latex]
A: [latex] Soit $f:I\setminus \{a\} \to \mathbb{R}$. $f$ est prolongeable par continuité en $a$ si, et seulement si, $\lim_{x \to a} f(x)$ existe \textbf{et est finie}. Dans ce cas, le prolongement est unique, noté $\tilde{f}$ et défini par
$$\fonction{\tilde{f}}{I}{\mathbb{R}}{x}{\begin{cases}f(x)& \text{si }x\neq a\\
\lim_{x\to a} f(x) & \text{si }x=a
\end{cases}}$$
    [/latex]

Q: [latex] Caractérisation séquentielle de la continuité [/latex]
A: [latex] Les assertions suivantes sont équivalentes :
    \begin{enumerate}
        \item $f$ est continue en $a$.
        \item pour toute suite $(u_n)_n$ telle que $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_n\in D_f$ et $u_n\xrightarrow[n\to +\infty]{} a$ on a $f(u_n)\xrightarrow[n\to +\infty]{}  f(a)$.
    \end{enumerate}[/latex]

Q: [latex] Continuité de la composition de fonctions [/latex]
A: [latex] Soient $g:I\to \mathbb{R}$ et $h:J\to \mathbb{R}$ deux applications avec $g(I)\subset J$. Si $g$ est continue en $a$ et $h$ est continue en $g(a)$, alors $h\circ g$ est continue en $a$. [/latex]

Q: [latex] Intervalles de $\mathbb{R}$ [/latex]
A: [latex] Les intervalles de $\mathbb{R}$ sont les parties $I$ de $\mathbb{R}$ telles que tout réel compris entre deux éléments de $I$ appartient à $I$. Autrement dit, une partie $I$ de $\mathbb{R}$ est un intervalle si, et seulement si,
    \[\forall (x,y)\in I^2,\, \forall t\in [0,1], \, x+t(y-x)\in I\] [/latex]

Q: [latex] Théorème des valeurs intermédiaires [/latex]
A: [latex]
\begin{itemize}
\item Formulation 1 : Soient $I$ un intervalle, $f:I\to \mathbb{R}$ continue, $(a,b)\in I^2$ avec $a<b$. Alors pour tout $y\in \mathbb{R}$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=y$. Autrement dit, $[f(a),f(b)]$ ou $[f(b),f(a)]\subset f([a,b])$
\item Formulation 2 (à éviter) : Si $f$ est continue, alors l'image d'un intervalle par $f$ est un intervalle.
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex] Image d'un segment par une fonction continue [/latex]
A: [latex] L'image d'un segment par une fonction continue est un segment. [/latex]

Q: [latex] Toute fonction continue sur un segment ... [/latex]
A: [latex] est bornée et atteint ses bornes.[/latex]

Q: [latex] Soit $(a,b)\in \overline{\mathbb{R}}$ vérifiant $a<b$. Supposons $f$ continue sur $I$ et \textbf{strictement} croissante sur $I$. Que dire de $f(I)$ ? [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
        \item Si $I=[a,b]$, alors $f(I)=[f(a),f(b)]$.
        \item Si $I=]a,b[$, alors $f(I)=]\lim_{a+}f,\lim_{b-}f[$
        \item Si $I=[a,b[$, alors $f(I)=[f(a),\lim_{b-}f[$
        \item Si $I=]a,b]$, alors $f(I)=]\lim_{a+}f,f(b)]$
    \end{itemize}[/latex]

Q: [latex] Théorème de la bijection monotone [/latex]
A: [latex] Soient $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ une application. Posons $J=f(I)$. Alors si deux quelconques des trois propriétés suivantes sont vraies, la troisième l'est également :
    \begin{enumerate}
        \item $J$ est un intervalle et $f$ réalise une bijection de l'intervalle $I$ sur l'intervalle $J$.
        \item $f$ est strictement monotone sur $I$.
        \item $f$ est continue sur $I$.
    \end{enumerate}
    De plus, lorsque ces conditions sont vérifiées, l'application réciproque $f^{-1}:J\to I$ est aussi une bijection continue strictement monotone. [/latex]

Q: [latex] Continuité d'une fonction à valeurs complexes [/latex]
A: [latex] Soient $f:I\to \mathbb{C}$ et $a\in I$. On a équivalence entre :
    \begin{itemize}
        \item $f$ est continue en $a$ (resp. sur $I$).
        \item $\pIm(f)$ et $\pRe(f)$ sont continues en $a$ (resp. sur $I$.).
    \end{itemize} [/latex]