Title: Mathématiques-PTSI / Un peu de calcul

Q: [latex]Soit $n\in \mathbb{N}$. Définition de factorielle $n$.[/latex]
A: [latex]Pour $n\neq 0$, $n!=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}k=1\times 2\times 3 \times \dots \times n$.\\ Par convention, $0!=1$.[/latex]

Q: [latex]Somme des $n+1$ premiers entiers[/latex]
A: [latex] $\displaystyle\sum_{k=0}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}$ [/latex]

Q: [latex]Somme des carrés des $n+1$ premiers entiers [/latex]
A: [latex] $ \displaystyle\sum_{k=0}^{n}k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} $ [/latex]

Q: [latex]Définition du coefficient binomial[/latex]
A: [latex] Soient $n$, $k\in \mathbb{Z}$ tels que $0\leq k\leq n $, alors $\binom{n}{k}= \frac{n!}{k!(n - k)!}$.
Sinon, par convention, $\binom{n}{k}=0$.[/latex]

Q: [latex]Formule du triangle de Pascal[/latex]
A: [latex]Soient $n$, $k\in \mathbb{N}^*$, avec $k\leq n-1$. Alors, $\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$.[/latex]

Q: [latex]Formule du binôme de Newton[/latex]
A: [latex]Soient $n\in \mathbb{N}$ et $a$, $b\in \mathbb{C}$. On a
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}\][/latex]

Q: [latex]Somme des $n$ premières puissances d'un nombre $q\in \mathbb{C}$. [/latex]
A: [latex] $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}q^k=\begin{cases}
\dfrac{q^n-1}{q-1}& \text{ si }q\neq 1\\
n &\text{ si }q=1
\end{cases}$
Mémo : $n$ est aussi le nombre de termes de la somme [/latex]

Q: [latex]Le coefficient de la $i$ème ligne et de la $j$ème colonne de $A=(a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p} $ [/latex]
A: [latex] $ a_{i,j} $ [/latex]

Q: [latex]Définition de la matrice nulle d'ordre $n$ [/latex]
A: [latex]La matrice carrée d'ordre $n$ dont tous les coefficients sont nuls.[/latex]

Q: [latex]Définition de la matrice identité d'ordre $n$ [/latex]
A: [latex]La matrice $(\delta_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. (des 1 sur la diagonale, des 0 ailleurs). On la note $I_n$.[/latex]

Q: [latex]Définition d'une matrice diagonale[/latex]
A: [latex] Une matrice carrée $(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que pour tous $i,j\in [\![1\,;n]\!]$ avec $i\neq j$, $a_{ij}=0$ [/latex]

Q: [latex]Définition matrice triangulaire supérieure[/latex]
A: [latex] Une matrice carrée $(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que pour tous $i,j\in [\![1\,;n]\!]$ avec $i> j$, $a_{ij}=0$ [/latex]

Q: [latex]Définition d'une matrice triangulaire inférieure[/latex]
A: [latex] Une matrice carrée $(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que pour tous $i,j\in [\![1\,;n]\!]$ avec $i< j$, $a_{ij}=0$ [/latex]

Q: [latex]Addition de deux matrices $A=(a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$ et $B=(b_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$ [/latex]
A: [latex]De même taille !!  \[A+B=(a_{ij}+b_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}\][/latex]

Q: [latex]Produit d'une matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$ par un scalaire $\lambda$ [/latex]
A: [latex] $ \lambda A=(\lambda a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p} $ [/latex]

Q: [latex]Produit de deux matrices $A=(a_{ij})_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq p}$ et $B=(b_{ij})_{1\leq i \leq p, 1\leq j \leq q} $ [/latex]
A: [latex]\[ AB= \left(\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}\right)_{1\leq i \leq n, 1\leq j \leq q}\]On fait attention aux dimensions de $A$ et $B$ ![/latex]

Q: [latex]Propriétés du produit matriciel[/latex]
A: [latex] \begin{enumerate}
\item associatif : si $A\in \mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, $B\in \mathscr{M}_{p,q}(\mathbb{K})$, $C\in \mathscr{M}_{q,r}(\mathbb{K})$ , alors $(AB)C$ et $A(BC)$ sont dans $\mathscr{M}_{n,r}(\mathbb{K})$ et sont égales, notées $ABC$.
\item bilinéaire : Si $A$, $B$, $C$, $D$ sont des matrices de taille convenable, et si $\lambda\in \mathbb{K}$, alors $(A+\lambda B)C=AC+\lambda BC$ et $A(C+\lambda D)=AC+\lambda AD$.
\item soit $A\in \mathscr{M}_{n,p}(\mathbb{K})$, alors $I_nA=A$ (neutre à gauche) et $AI_p=A$ (neutre à droite).
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex]Puissances d'une matrice carrée $M\in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
\item $M^0=I_n$
\item $M^1=M$
\item pour tout $k\in \mathbb{N}$, $M^{k+1}=M\times M^k=\underbrace{M\times M\times \dots \times M}_{k} \in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$.
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex]Formule du binôme de Newton pour des matrices[/latex]
A: [latex]Soient $A\in \mathscr{M}_p(\mathbb{K})$ et $B\in \mathscr{M}_p(\mathbb{K})$ telles que \textbf{ $AB=BA$}, alors pour $n\in \mathbb{N}$, \[ (A+B)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}A^kB^{n-k}\][/latex]

Q: [latex]Définition d'une matrice inversible[/latex]
A: [latex] Soit $A\in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$. On dit que $A$ est \emph{inversible} lorsqu'il existe une matrice $B\in \mathscr{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $AB=BA=I_n$. \\Dans ce cas, $B$ est unique, et appelée l'inverse de $A$, et notée $A^{-1}$.[/latex]

Q: [latex]Critère et formule d'inversibilité d'une matrice $2\times 2$ [/latex]
A: [latex]Pour $(a, b, c,d)\in \mathbb{K}^4$, la matrice $\begin{pmatrix}
    a & b \\ c& d
\end{pmatrix}$ est inversible si, et seulement si, le déterminant est non nul, i.e. $ad-bc\neq 0$. Dans ce cas,
\[\begin{pmatrix} a & b \\ c& d \end{pmatrix}^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c& a \end{pmatrix}.\]
[/latex]

Q: [latex] Soient $I=\{i_1,\cdots, i_n\}$ un ensemble \textbf{fini} et $(z_i)_{i\in I}$ une famille de nombres complexes indexée par $I$.  \[\sum_{i\in I}z_i=[...]\][/latex]
A: [latex]  \[\sum_{i\in I}z_i=z_{i_1}+z_{i_2}+\cdots+z_{i_n}.\][/latex]

Q: [latex] Soient $I$ un ensemble fini, $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles de nombres complexes indexées par $I$ et $\lambda \in \mathbb{C}$.
    Alors
    \[\sum_{i\in I}(a_i+\lambda b_i)=[...]\][/latex]
A: [latex]  \[\sum_{i\in I}(a_i+\lambda b_i)=\sum_{i\in I}a_i+\lambda \sum_{i\in I}b_i.\] [/latex]

Q: [latex] Soient $I$ un ensemble fini, $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles de nombres complexes indexées par $I$ et $\lambda \in \mathbb{C}$.
    Alors
    \[\sum_{i\in I}a_i+\lambda \sum_{i\in I}b_i=[...]\] [/latex]
A: [latex]  \[\sum_{i\in I}(a_i+\lambda b_i)=\sum_{i\in I}a_i+\lambda \sum_{i\in I}b_i.\] [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ un ensemble et $(z_i)_{i\in \N}$ une famille de nombres complexes.\\
     Pour $p\in \mathbb{Z}$, faire le changement d'indice $j=k+p$, \[\sum_{k=m}^nz_{k+p}=[...]\]. [/latex]
A: [latex] \[ \sum_{k=m}^nz_{k+p}=\sum_{j=m+p}^{n+p}z_j\].  [/latex]

Q: [latex] Soit $(z_k)_{m\leq k \leq n+1}$ une famille de nombres complexes. Alors \[\sum_{k=m}^{n}(z_{k+1}-z_k)=[...]\] [/latex]
A: [latex] \[\sum_{k=m}^{n}(z_{k+1}-z_k)=z_{n+1}-z_m.\] [/latex]

Q: [latex]Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,p\rrbracket}$ \[ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{p}z_{i,j}=[...]\][/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{p}z_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}z_{i,j}\] [/latex]

Q: [latex]Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,p\rrbracket}$\[ \displaystyle\sum_{j=1}^{p}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}z_{i,j}=[...]\][/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=1}^{p}z_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{p}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}z_{i,j}\] [/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,n\rrbracket}$ une famille de nombres complexes. \[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=i}^{n}z_{i,j}=[...] \] [/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=i}^{n}z_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}z_{i,j}\] [/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,n\rrbracket}$ une famille de nombres complexes. \[\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}z_{i,j} =[...]\] [/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\sum_{i=1}^{n}\displaystyle\sum_{j=i}^{n}z_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}z_{i,j} \] [/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,n\rrbracket}$ une famille de nombres complexes. \[ \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}z_{i,j}=[...]\][/latex]
A: [latex]\[ \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}z_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=2}^{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}z_{i,j} \] [/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,n\rrbracket}$ une famille de nombres complexes.\[\displaystyle\sum_{j=2}^{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}z_{i,j}=[...] \][/latex]
A: [latex] \[\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}\displaystyle\sum_{j=i+1}^{n}z_{i,j}=\displaystyle\sum_{j=2}^{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}z_{i,j}\][/latex]

Q: [latex] Soient $I=\{i_1,\cdots, i_n\}$ un ensemble \textbf{fini} et $(z_i)_{i\in I}$ une famille de nombres complexes indexée par $I$.
\[\prod_{i\in I}z_i=[...]\]
[/latex]
A: [latex] \[ \prod_{i\in I}z_i=z_{i_1}\times z_{i_2}\times \cdots\times z_{i_n}.\][/latex]

Q: [latex] Soient $I$ un ensemble fini de $n$ éléments, $(a_i)_{i\in I}$ et $(b_i)_{i\in I}$ deux familles de nombres complexes indexées par $I$ et $\lambda \in \mathbb{C}$.
    Alors
 \[\prod_{i\in I}\lambda a_ib_i=[...]\] [/latex]
A: [latex] \[\prod_{i\in I}(\lambda\times a_i\times b_i)=\lambda^n\prod_{i\in I}a_i\times \prod_{i\in I}b_i.\] [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ un ensemble et $(z_i)_{i\in \N}$ une famille de nombres complexes.\\
     Pour $p\in \mathbb{Z}$, faire le changement d'indice $j=k+p$, \[\prod_{k=m}^nz_{k+p}=[...].\] [/latex]
A: [latex] \[\prod_{k=m}^nz_{k+p}=\prod_{j=m+p}^{n+p}z_j.\]  [/latex]

Q: [latex] Soit $(z_k)_{m\leq k \leq n+1}$ une famille de nombres complexes. Alors $\displaystyle\prod_{k=m}^{n}\dfrac{z_{k+1}}{z_k}=[...]$. [/latex]
A: [latex] $\displaystyle\prod_{k=m}^{n}\dfrac{z_{k+1}}{z_k}=\dfrac{z_{n+1}}{z_m}$ [/latex]

Q: [latex]Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,p\rrbracket}$
\[\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\displaystyle\prod_{j=1}^{p}z_{i,j}=[...]\]
[/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\prod_{i=1}^{n}\displaystyle\prod_{j=1}^{p}z_{i,j}=\displaystyle\prod_{j=1}^{p}\displaystyle\prod_{i=1}^{n}z_{i,j}\] [/latex]

Q: [latex]Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,p\rrbracket}$
\[\displaystyle\prod_{j=1}^{p}\displaystyle\prod_{i=1}^{n}z_{i,j}=[...] \]
[/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\prod_{i=1}^{n}\displaystyle\prod_{j=1}^{p}z_{i,j}=\displaystyle\prod_{j=1}^{p}\displaystyle\prod_{i=1}^{n}z_{i,j} \]
[/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,n\rrbracket}$ une famille de nombres complexes.
\[\displaystyle\prod_{i=1}^{n}\displaystyle\prod_{j=i}^{n}z_{i,j}=[...] \]
[/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\prod_{i=1}^{n}\displaystyle\prod_{j=i}^{n}z_{i,j}=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}\displaystyle\prod_{i=1}^{j-1}z_{i,j}\][/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,n\rrbracket}$ une famille de nombres complexes. \[ \displaystyle\prod_{j=1}^{n}\displaystyle\prod_{i=1}^{j-1}z_{i,j} =[...] \]
[/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\prod_{i=1}^{n}\displaystyle\prod_{j=i}^{n}z_{i,j}=\displaystyle\prod_{j=1}^{n}\displaystyle\prod_{i=1}^{j-1}z_{i,j} \][/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$, $p\in \N$ et $(z_{i,j})_{i\in \llbracket 1,n\rrbracket, \, j\in \llbracket 1,n\rrbracket}$ une famille de nombres complexes. \[ \displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}\displaystyle\prod_{j=i+1}^{n}z_{i,j}=[...]\] [/latex]
A: [latex] \[ \displaystyle\prod_{i=1}^{n-1}\displaystyle\prod_{j=i+1}^{n}z_{i,j}=\displaystyle\prod_{j=2}^{n}\displaystyle\prod_{i=1}^{j-1}z_{i,j} \] [/latex]