Title: Mathématiques-PTSI / Formulaire de trigonométrie

Q: [latex] $ \cos(  0 )= [...]$ et $\sin( 0 )= [...] $ [/latex]
A: [latex] $ \cos(  0 )= 1$ et $\sin( 0 )=  0 $ [/latex]

Q: [latex] $ \cos\dfrac{\pi}{6}=[...]   $ et $\sin \dfrac{\pi}{6} = [...]$  [/latex]
A: [latex] $ \cos\dfrac{\pi}{6}=  \dfrac{\sqrt3}{2} $ et $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} $  [/latex]

Q: [latex] $\cos \dfrac{\pi}{4} = [...]$ et $\sin \dfrac{\pi}{4} = [...] $  [/latex]
A: [latex] $\cos \dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\sqrt2}{2} $ et $\sin \dfrac{\pi}{4} =  \dfrac{\sqrt2}{2}$  [/latex]

Q: [latex] $ \cos \dfrac{\pi}{2} = [...] $ et $\sin\dfrac{\pi}{2}= [...]$[/latex]
A: [latex] $ \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin\dfrac{\pi}{2}=1 $[/latex]

Q: [latex] $ \cos \dfrac{\pi}{3}=[...] $ et $ \sin  \dfrac{\pi}{3}  =[...] $  [/latex]
A: [latex] $ \cos \dfrac{\pi}{3}=  \dfrac{1}{2}  $ et $ \sin  \dfrac{\pi}{3} =  \dfrac{\sqrt3}{2} $  [/latex]

Q: [latex] $\cos\pi=  [...] $ et $\sin\pi = [...]  $ [/latex]
A: [latex] $\cos\pi=  -1  $ et $\sin \pi =  0 $ [/latex]

Q: [latex] Déterminer un $x\in [0,2\pi[$ tel que $ \cos x=  \dfrac{\sqrt3}{2} $ et $\sin x= \dfrac{1}{2} $  [/latex]
A: [latex] $x=\dfrac{\pi}{6}$ car $ \cos\dfrac{\pi}{6}=  \dfrac{\sqrt3}{2} $ et $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2} $  [/latex]

Q: [latex] Déterminer un $x\in  [0,2\pi[$ tel que $ \cos  x = 1$ et $\sin x=  0 $ [/latex]
A: [latex] $x=0$ car $ \cos(  0 )= 1$ et $\sin( 0 )=  0 $ [/latex]

Q: [latex] Déterminer un $x\in  [0,2\pi[$ tel que $ \cos x=  \dfrac{1}{2}  $ et $ \sin x =  \dfrac{\sqrt3}{2} $  [/latex]
A: [latex]$x=\dfrac{\pi}{3}$ car $ \cos \dfrac{\pi}{3}=  \dfrac{1}{2}  $ et $ \sin  \dfrac{\pi}{3} =  \dfrac{\sqrt3}{2} $  [/latex]

Q: [latex] Déterminer un $x\in  [0,2\pi[$ tel que $ \cos x= 0 $ et $\sin x=1 $[/latex]
A: [latex] $x=\dfrac{\pi}{2}$ car $ \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin\dfrac{\pi}{2}=1 $[/latex]

Q: [latex] Déterminer un $x\in  [0,2\pi[$ tel que $\cos x =  -1  $ et $\sin x =  0 $ [/latex]
A: [latex] $x=\pi$ car $\cos\pi=  -1  $ et $\sin \pi =  0 $ [/latex]

Q: [latex] Déterminer un $x\in  [0,2\pi[$ tel que $\cos x =\dfrac{\sqrt2}{2} $ et $\sin x =  \dfrac{\sqrt2}{2}$  [/latex]
A: [latex] $x= \dfrac{\pi}{4}$ car $\cos \dfrac{\pi}{4} =\dfrac{\sqrt2}{2} $ et $\sin \dfrac{\pi}{4} =  \dfrac{\sqrt2}{2}$  [/latex]

Q: [latex] $\cos(-\theta)=[...]\cos([...])$ [/latex]
A: [latex] $\cos(-\theta)=\cos(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\cos([...])=\cos(\theta)$ [/latex]
A: [latex] $\cos(-\theta)=\cos(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\cos(\pi/2-\theta)=[...]\sin([...])$ [/latex]
A: [latex] $\cos(\pi/2-\theta)=\sin(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\cos([...])=\sin(\theta)$ [/latex]
A: [latex] $\cos(\pi/2-\theta)=\sin(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\cos(\pi/2+\theta)=[...]\sin([...])$ [/latex]
A: [latex] $\cos(\pi/2+\theta)=-\sin(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\cos([...])=-\sin(\theta)$ [/latex]
A: [latex] $\cos(\pi/2+\theta)=-\sin(\theta)$ [/latex]

Q: [latex]$\cos([...])=-\cos(\theta)$[/latex]
A: [latex] $\cos(\pi\pm\theta)=-\cos(\theta)$[/latex]

Q: [latex] $\cos(\pi+\theta)=[...]\cos([...])$ [/latex]
A: [latex] $\cos(\pi+\theta)=-\cos(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\cos([...])=-\cos(\theta)$ [/latex]
A: [latex] $\cos(\pi\pm\theta)=-\cos(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\sin(-\theta)=[...]\sin([...])$ [/latex]
A: [latex] $\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$[/latex]

Q: [latex] $\sin([...])=-\sin(\theta)$[/latex]
A: [latex] $\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$ et $\sin(\pi+\theta)=-\sin(\theta)$[/latex]

Q: [latex] $\sin(\pi/2-\theta)=[...]\cos([...])$ [/latex]
A: [latex] $\sin(\pi/2-\theta)=\cos(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\sin([...])=\cos(\theta)$ [/latex]
A: [latex] $\sin(\pi/2\pm\theta)=\cos(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\sin(\pi/2+\theta)=[...]\cos([...])$ [/latex]
A: [latex] $\sin(\pi/2+\theta)=\cos(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\sin(\pi-\theta)=[...]\sin([...])$ [/latex]
A: [latex] $\sin(\pi-\theta)=\sin(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\sin([...])=\sin(\theta)$ [/latex]
A: [latex] $\sin(\pi-\theta)=\sin(\theta)$ [/latex]

Q: [latex] $\sin(\pi+\theta)=[...]\sin([...])$[/latex]
A: [latex] $\sin(\pi+\theta)=-\sin(\theta)$[/latex]

Q: [latex] $\sin([...])=-\sin(\theta)$ [/latex]
A: [latex] $\sin(\pi+\theta)=-\sin(\theta)$ et $\sin(-\theta)=-\sin(\theta)$  [/latex]

Q: [latex] $\cos(x)=\cos(y)$ si, et seulement si, [/latex]
A: [latex] $\cos(x)=\cos(y)$ si, et seulement si, $x=y\, [2\pi]$ ou $x=-y\,[2\pi]$. [/latex]

Q: [latex] $\sin(x)=\sin(y)$ si, et seulement si, [/latex]
A: [latex] $\sin(x)=\sin(y)$ si, et seulement si, $x=y\, [2\pi]$ ou $x=\pi-y\,[2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] Soient $x$ et $y$ deux réels non congrus à $\pi/2$ modulo $\pi$. Alors :\\
$\tan(x)=\tan(y)$ si, et seulement si, [/latex]
A: [latex] $\tan(x)=\tan(y)$ si, et seulement si, $x=y [\pi]$[/latex]

Q: [latex] $\cos(x+y)=[...]$ [/latex]
A: [latex] $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ [/latex]
A: [latex] $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ [/latex]

Q: [latex] $\cos(x-y)=[...]$[/latex]
A: [latex] $\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$[/latex]

Q: [latex] $[...]=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$[/latex]
A: [latex] $\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$[/latex]

Q: [latex] $\tan(x+y)=[...]$ [/latex]
A: [latex] $\tan(x+y)=\dfrac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=\dfrac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}$ [/latex]
A: [latex] $\tan(x+y)=\dfrac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}$ [/latex]

Q: [latex] $\cos(x)+\cos(y)=[...]$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(x)+\cos(y)=2\cos \left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cos \left(\dfrac{x-y}{2}\right)$[/latex]

Q: [latex] $[...]=2\cos \left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cos \left(\dfrac{x-y}{2}\right)$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(x)+\cos(y)=2\cos \left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cos \left(\dfrac{x-y}{2}\right)$[/latex]

Q: [latex] $\cos(x)-\cos(y)=[...]$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(x)-\cos(y)=-2\sin \left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sin \left(\dfrac{x-y}{2}\right)$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=-2\sin \left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sin \left(\dfrac{x-y}{2}\right)$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(x)-\cos(y)=-2\sin \left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sin \left(\dfrac{x-y}{2}\right)$ [/latex]

Q: [latex] $\cos(x)\cos(y)=[...]$[/latex]
A: [latex] $\cos(x)\cos(y)=\dfrac{1}{2}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right)$[/latex]

Q: [latex] $[...]=\dfrac{1}{2}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right)$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(x)\cos(y)=\dfrac{1}{2}\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right)$[/latex]

Q: [latex] $\sin(x)\cos(y)=[...]$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(x)\cos(y)=\dfrac{1}{2}\left(\sin(x+y)+\sin(x-y)\right)$[/latex]

Q: [latex] $[...]=\dfrac{1}{2}\left(\sin(x+y)+\sin(x-y)\right)$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(x)\cos(y)=\dfrac{1}{2}\left(\sin(x+y)+\sin(x-y)\right)$[/latex]

Q: [latex] $\sin(2x)=[...]$ en fonction de $\sin$ et $\cos$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$[/latex]

Q: [latex] $[...]=2\sin(x)\cos(x)$ en fonction de $\sin$ et $\cos$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ [/latex]

Q: [latex] $\sin(2x)=[...]$ en fonction de $\tan$ [/latex]
A: [latex]  (à savoir retrouver) $\sin(2x)=\dfrac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=\dfrac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}$ en fonction de $\sin$ et $\cos$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(2x)=\dfrac{2\tan(x)}{1+\tan^2(x)}$ [/latex]

Q: [latex] $\cos(2x)=[...]$ en fonction de $\sin$ et $\cos$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)$[/latex]

Q: [latex] $\cos(2x)=[...]$ en fonction de $\tan$. [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(2x)=\dfrac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$[/latex]

Q: [latex] $[...]=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ en fonction de $\sin$ et $\cos$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=\dfrac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$ en fonction de $\sin$ et $\cos$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)=\dfrac{1-\tan^2(x)}{1+\tan^2(x)}$ [/latex]

Q: [latex] $\sin(x+y)=[...]$[/latex]
A: [latex] $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$[/latex]

Q: [latex] $[...]=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$[/latex]
A: [latex] $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\cos(x)\sin(y)$[/latex]

Q: [latex] $\sin(x-y)=[...]$[/latex]
A: [latex] $\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)$[/latex]
A: [latex] $\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\cos(x)\sin(y)$ [/latex]

Q: [latex] $\tan(x-y)=[...]$ [/latex]
A: [latex] $\tan(x-y)=\dfrac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}$[/latex]

Q: [latex] $[...]=\dfrac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}$[/latex]
A: [latex] $\tan(x-y)=\dfrac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}$[/latex]

Q: [latex] $\sin(x)+\sin(y)=[...]$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=2\sin\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(x)+\sin(y)=2\sin\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cos\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$ [/latex]

Q: [latex] $\sin(x)-\sin(y)=[...]$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(x)-\sin(y)=2\cos\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=2\cos\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(x)-\sin(y)=2\cos\left(\dfrac{x+y}{2}\right)\sin\left(\dfrac{x-y}{2}\right)$ [/latex]

Q: [latex]$\sin(x)\sin(y)=[...]$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(x)\sin(y)=\dfrac{1}{2}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$ [/latex]

Q: [latex] $[...]=\dfrac{1}{2}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$ [/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\sin(x)\sin(y)=\dfrac{1}{2}\left(\cos(x-y)-\cos(x+y)\right)$[/latex]

Q: [latex] $\tan(2x)=[...]$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\tan(2x)=\dfrac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$[/latex]

Q: [latex] $[...]=\dfrac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$[/latex]
A: [latex] (à savoir retrouver) $\tan(2x)=\dfrac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$[/latex]