Title: Mathématiques-PTSI / Arithmétique

Q: [latex] $n$ divise $m$ [/latex]
A: [latex] il existe un $k\in \mathbb{N}$ vérifiant $m=kn$ [/latex]

Q: [latex] $n$ est un diviseur de $m$ [/latex]
A: [latex] il existe un $k\in \mathbb{N}$ vérifiant $m=kn$ [/latex]

Q: [latex] $m$ est un multiple de $n$ [/latex]
A: [latex]il existe un $k\in \mathbb{N}$ vérifiant $m=kn$  [/latex]

Q: [latex] Théorème de la division euclidienne [/latex]
A: [latex] Soient $a\in \mathbb{N}$ et $b\in \mathbb{N}^*$. Il existe un unique couple $(q,r)\in \mathbb{N}\times \mathbb{N}$ tels que
 $a=bq+r$ \textbf{et} $0\leq r<b$.
 $q$ et $r$ sont respectivement appelés le \emph{quotient} et le \emph{reste} de la division euclidienne de $a$ par $b$. $b$ est appelé le \emph{diviseur} et $a$ le \emph{dividende} de cette division. [/latex]

Q: [latex] $a$ et $b$ sont premiers entre eux [/latex]
A: [latex] $(a,b)\neq (0,0)$ et leur seul diviseur commun dans $\mathbb{N}$ est $1$ [/latex]

Q: [latex] Plus grand diviseur commun de $a$ et $b$ [/latex]
A: [latex] Soient $a$ et $b$ deux entiers avec $(a,b)\neq (0,0)$, on note $\mathscr{D}(a,b)$ l'ensemble des diviseurs communs à $a$ et $b$.
on note $PGCD(a,b)$ ou $a\land b$, le plus grand élément de $\mathscr{D}(a,b)$
[/latex]

Q: [latex] Plus petit commun diviseur (ppcm) de $a$ et $b$ [/latex]
A: [latex] Soient $a$ et $b$ deux entiers avec $(a,b)\neq (0,0)$, on note $\mathscr{M}(a,b)$ l'ensemble des multiples communs à $a$ et $b$.
on note $PPCM(a,b)$ ou $a\lor b$, le plus petit élément de $\mathscr{M}(a,b)$
[/latex]

Q: [latex] Soit $(a,b)\neq (0,0)$. Que peut-on dire de $a'=\frac{a}{a\land b}$ et $b'=\frac{b}{a\land b}$ [/latex]
A: [latex] Ils sont premiers entre eux. [/latex]

Q: [latex] Lemme d'Euclide [/latex]
A: [latex] Soient $a\in \mathbb{N}$, $b\in \mathbb{N}^*$ et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. Alors $\mathscr{D}(a,b)=\mathscr{D}(b,r)$. En particulier, on a $a\land b=b\land r$. [/latex]

Q: [latex] Nombre premier [/latex]
A: [latex] Soit $p\in \mathbb{N}^*$. On dit que $p$ est \emph{premier} si $p\neq 1$ et si ses seuls diviseurs positifs sont $1$ et $p$. Sinon, on dit que $p$ est \emph{composé}.  [/latex]

Q: [latex] Combien y a-t-il de nombres premiers ? [/latex]
A: [latex] Une infinité ![/latex]

Q: [latex] Décomposition en nombres premiers[/latex]
A: [latex] Pour tout entier $n\geq1$, il existe un unique $k\in\mathbb{N}^*$, des entiers premiers $p_1, \dots, p_k$ uniques distincts et $\alpha_1,\dots , \alpha_k\in \mathbb{N}^*$ uniques tels que $n=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}$. [/latex]

Q: [latex] Calcul du pgcd à partir de la décomposition en facteurs premiers. [/latex]
A: [latex] Il existe des entiers $\nu_p(a)$ et $\nu_p(b)$, $p\in \mathscr{P}$ tels que
    $
        a=\prod_{p\in \mathscr{P} }p^{\nu_p(a)} \quad b=\prod_{p\in \mathscr{P} }p^{\nu_p(b)} $
    Alors,
    $a\land b = \prod_{p\in \mathscr{P}}p^{\min(\nu_p(a),\nu_p(b))} $ [/latex]

Q: [latex] Calcul du ppcm à partir de la décomposition en facteurs premiers. [/latex]
A: [latex] Il existe des entiers $\nu_p(a)$ et $\nu_p(b)$, $p\in \mathscr{P}$ tels que
    $
        a=\prod_{p\in \mathscr{P} }p^{\nu_p(a)} \quad b=\prod_{p\in \mathscr{P} }p^{\nu_p(b)} $
    Alors,
    $a\lor b = \prod_{p\in \mathscr{P} }p^{\max(\nu_p(a),\nu_p(b))} $ [/latex]

Q: [latex] Relation entre pgcd et ppcm[/latex]
A: [latex] Pour $a$ et $b$ entiers non tous les deux nuls, $ab=(a\land b)(a\lor b)$ [/latex]