Title: Mathématiques-PTSI / Suites

Q: [latex] Une suite à valeurs réelles ou suite réelle $u$ [/latex]
A: [latex] Une application de $\llbracket n_0,+\infty \llbracket $ dans $\mathbb{R}$. On note en général $u_n$ au lieu de $u(n)$ l'image de $n$ par $u$.
    La suite $u$ est souvent notée $(u_n)_{n\geq n_0}$. Elle est appelée \emph{la suite de terme général $u_n$} [/latex]

Q: [latex] $\mathbb{R}^{\mathbb{N} }$ [/latex]
A: [latex] L'ensemble des suites réelles définies sur $\mathbb{N}$ [/latex]

Q: [latex] $(u_n)_{n\in \N}=(v_n)_{n\in \N}  $[/latex]
A: [latex] $\forall n \in \N, u_n=v_n$[/latex]

Q: [latex] Suite constante [/latex]
A: [latex] $\forall n \in \mathbb{N}, \, u_n=u_{n+1}$ [/latex]

Q: [latex] Suite stationnaire [/latex]
A: [latex] $\exists n_0\in\mathbb{N}, \, \forall n\geq n_0, \, u_n=u_{n+1}$ [/latex]

Q: [latex] Suite croissante [/latex]
A: [latex] $\forall n\in \N, u_n\leq u_{n+1}$[/latex]

Q: [latex] Suite strictement croissante [/latex]
A: [latex] $\forall n\in \N, u_n< u_{n+1}$[/latex]

Q: [latex] Suite décroissante [/latex]
A: [latex] $\forall n\in \N, u_n\geq u_{n+1}$[/latex]

Q: [latex] Suite strictement décroissante[/latex]
A: [latex] $\forall n\in \N, u_n> u_{n+1}$[/latex]

Q: [latex] Suite monotone [/latex]
A: [latex] $(\forall n\in \N, u_n\leq u_{n+1})\lor(\forall n\in \N, u_n\geq u_{n+1}) $[/latex]

Q: [latex] Suite majorée[/latex]
A: [latex] $\exists M\in \mathbb{R}, \forall n\in\mathbb{N}, u_n\leq M$ [/latex]

Q: [latex] Suite minorée[/latex]
A: [latex] $\exists m\in \mathbb{R}, \forall n\in\mathbb{N}, m\leq u_n$ [/latex]

Q: [latex] Suite bornée[/latex]
A: [latex] $\exists (m,M)\in \mathbb{R}^2, \forall n\in\mathbb{N}, m\leq u_n\leq M$
ou
$\exists M\in \mathbb{R}, \forall n\in\mathbb{N}, \abs{u_n}\leq M$ [/latex]

Q: [latex] Boule ouverte de centre $a$ et de rayon $\eps$ dans $\R$ [/latex]
A: [latex] $\mathcal{B}(a,\eps)= \{ x\in \mathbb{R}| \abs{x-a}<\eps\}=]a-\eps, a+\eps[$ [/latex]

Q: [latex] Boule fermée de centre $a$ et de rayon $\eps$ dans $\R$ [/latex]
A: [latex] $\overline{\mathcal{B}}(a,\eps)= \{ x\in \mathbb{R}| \abs{x-a}\leq\eps\}=[a-\eps, a+\eps]$ [/latex]

Q: [latex] Voisinage de $a\in \R$ [/latex]
A: [latex] Toute partie de $\mathbb{R}$ contenant au moins une boule ouverte de centre $a$. [/latex]

Q: [latex] Voisinage de $+\infty$ [/latex]
A: [latex] Toute partie de $\mathbb{R}$ contenant au moins un intervalle de la forme $]A,+\infty[$, où $A$ est un réel. [/latex]

Q: [latex] Voisinage de $-\infty$[/latex]
A: [latex] Toute partie de $\mathbb{R}$ contenant au moins un intervalle de la forme $]-\infty,A[$, où $A$ est un réel.[/latex]

Q: [latex] Étant donnés une propriété $P$ sur une suite réelle $u$ et un entier $n_0$, on dit que $P$ est \emph{vraie à partir d'un certain rang $n_0$ pour $u$} [/latex]
A: [latex] La propriété $P$ est vraie pour la suite des termes $u_{n_0}$, $u_{n_0+1}$, \dots autrement dit, pour la suite $(u_{n_0+n})_{n\in\mathbb{N}}$.[/latex]

Q: [latex] Soient $a\in \overline{\mathbb{R}}$ et $P$ un prédicat sur les réels. On dit que $P$ est \emph{vraie au voisinage de $a$} [/latex]
A: [latex] $\{x\in \mathbb{R}| P(x)\}$ est un voisinage de $a$ [/latex]

Q: [latex] Soit $\ell\in \overline{\mathbb{R}}$. On dit que \emph{$u$ tend vers $\ell$} ou que \emph{$u_n$ tend vers $\ell$} quand $n$ tend vers $+\infty$ [/latex]
A: [latex] $\forall V \in \mathcal{V}(\ell), \, \exists n_0\in \mathbb{N}, \, \underbrace{\forall n \in \mathbb{N}, \, n\geq n_0 \implies}_{\forall n\geq n_0} u_n\in V. $ [/latex]

Q: [latex] $u$ est convergente [/latex]
A: [latex] il existe un réel vers lequel elle converge[/latex]

Q: [latex] La suite $u$ diverge [/latex]
A: [latex] elle ne converge pas. [/latex]

Q: [latex] Soit $u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $\ell \in \mathbb{R}$. $u$ converge vers $\ell$ [/latex]
A: [latex] $\forall \eps>0, \, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \, \underbrace{\forall n \in \mathbb{N}, \, n\geq n_0 \implies}_{\forall n\geq n_0} \abs{u_n-\ell}\leq \eps$ [/latex]

Q: [latex] Lien entre suite convergente et suite bornée ? [/latex]
A: [latex]     Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse !
[/latex]

Q: [latex] $u_n \xrightarrow[n\to +\infty]{}+\infty$[/latex]
A: [latex] $\forall A>0, \, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \, \underbrace{\forall n \in \mathbb{N}, \, n\geq n_0 \implies}_{\forall n\geq n_0} u_n\geq A$ [/latex]

Q: [latex] $u_n \xrightarrow[n\to +\infty]{}-\infty$ [/latex]
A: [latex] $\forall A <0, \, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \,\underbrace{\forall n \in \mathbb{N}, \, n\geq n_0 \implies}_{\forall n\geq n_0} u_n\leq A$ [/latex]

Q: [latex] Une suite peut-elle avoir deux limites ? [/latex]
A: [latex] Non ! [/latex]

Q: [latex] $u_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}\ell \iff $[/latex]
A: [latex] $u_n-\ell \xrightarrow[n\to +\infty]{}0 $ et même $\abs{u_n-\ell }\xrightarrow[n\to +\infty]{}0 $  [/latex]

Q: [latex] $u_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}0 \iff$ [/latex]
A: [latex] $\abs{u_n} \xrightarrow[n\to +\infty]{}0$ [/latex]

Q: [latex] Le produit d'une suite convergeant vers $0$ et d'une suite bornée [/latex]
A: [latex] converge vers $0$ [/latex]

Q: [latex] $\lim u+v$ avec $\lim u = \lim v = 0 $[/latex]
A: [latex] $0$ [/latex]

Q: [latex] $\lim \lambda u $ avec $\lim u = 0 $ [/latex]
A: [latex] $0$ [/latex]

Q: [latex] Limite de $u+v$ en fonction de $\lim u $ et $\lim v$
[/latex]
A: [latex] \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \diagbox{$u_n$}{$v_n$} & $\ell'\in \mathbb{R} $& $+\infty$ &$ -\infty$ \\
    \hline
    $\ell\in \mathbb{R}$ & $\ell+\ell'$ & $+\infty $ & $-\infty$ \\ \hline
    $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & ?\\ \hline
    $-\infty$ & $-\infty$ & ? & $-\infty$\\ \hline
\end{tabular} [/latex]

Q: [latex] Limite de $uv$ en fonction de $\lim u$ et $\lim v$
[/latex]
A: [latex] \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    \diagbox{$u_n$}{$v_n$} & $\ell'\neq 0 $& $0$ &$ \infty$ \\
    \hline
    $\ell\neq 0$ & $\ell\ell'$ & $0 $ & $\infty$ \\ \hline
    $0$ & $0$ & $0$ & ?\\ \hline
    $\infty$ & $\infty$ & ? & $\infty$\\ \hline
\end{tabular}[/latex]

Q: [latex] Limite de $1/v$ en fonction de la limite de $v$ [/latex]
A: [latex] \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
    \hline
    $v_n$ & $\frac{1}{v_n}$ \\
    \hline
    $\ell\neq 0$ & $\frac{1}{\ell}$ \\ \hline
    $0$ & ?\\ \hline
    $\infty$ & $0$ \\ \hline
\end{tabular} [/latex]

Q: [latex] Suite extraite [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{suite extraite} ou \emph{sous-suite de la suite $u$} tout suite $(u_{\varphi(n)})_{n\in \mathbb{N}}$ où $\varphi$ est une application strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$. La fonction $\varphi$ est une \emph{extraction}.[/latex]

Q: [latex] Soient $u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Si $u\xrightarrow[+\infty]{}\ell$, que dire d'une suite extraite ? [/latex]
A: [latex] Elle tend vers la même limite. [/latex]

Q: [latex] Conclure à la limite des suites à partir de suites extraites. [/latex]
A: [latex] Soit $u$ une suite à valeurs réelles et $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$. Si $u_{2n}\xrightarrow[n\to +\infty]{}\ell$ et $u_{2n+1}\xrightarrow[n\to +\infty]{}\ell$, alors $u_{n}\xrightarrow[n\to +\infty]{}\ell$. [/latex]

Q: [latex] Soient $u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $(a,b,\ell)\in \mathbb{R}^3$. Supposons $u\xrightarrow[+\infty]{}\ell$ et $a<\ell<b$. Que dire sur $u$ ?  [/latex]
A: [latex] Alors à partir d'un certain rang, les valeurs de $u$ sont comprises strictement entre $a$ et $b$.[/latex]

Q: [latex] Soient $u\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$ et $(a,\ell)\in \mathbb{R}^2$. Supposons $u\xrightarrow[+\infty]{}\ell$.
    \begin{itemize}
        \item Si à partir d'un certain rang, $u_n\leq a$, alors que dire sur $\ell$ ?
        \item Si à partir d'un certain rang, $u_n\geq a$, alors que dire sur $\ell$ ?
    \end{itemize} [/latex]
A: [latex]
    \begin{itemize}
        \item Si à partir d'un certain rang, $u_n\leq a$, alors $\ell \leq a$.
        \item Si à partir d'un certain rang, $u_n\geq a$, alors $\ell \geq a$.
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Soient $u$ et $v$ deux suites réelles telles qu'à partir d'un certain rang $u_n\leq v_n$. Si les suites convergent respectivement vers $\ell$ et $\ell'$, alors ...[/latex]
A: [latex] $\ell \leq \ell'$[/latex]

Q: [latex] Si une suite $u$ est croissante (resp. décroissante) et converge vers un réel $\ell$, alors ...[/latex]
A: [latex] pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n\leq \ell$ (resp. $u_n\geq \ell$)[/latex]

Q: [latex] Si une suite $u$ est strict. croissante (resp. strict. décroissante) et converge vers un réel $\ell$, alors [/latex]
A: [latex] pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_n< \ell$ (resp. $u_n> \ell$). [/latex]

Q: [latex] Soient $a$ et $b$ deux éléments de $\overline{\mathbb{R}}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ vérifiant $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}b$ et $u$ une suite réelle à valeurs dans $I$, vérifiant $u_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}a$. Alors ... [/latex]
A: [latex] $f(u_n)\xrightarrow[n\to +\infty]{}b$ [/latex]

Q: [latex] Théorème de minoration [/latex]
A: [latex] Si $u_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}+\infty$ et $u_n\leq v_n$ à partir d'un certain rang, alors $v_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}+\infty$. [/latex]

Q: [latex] Théorème de majoration [/latex]
A: [latex] Si $u_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}-\infty$ et $v_n\leq u_n$ à partir d'un certain rang, alors $v_n\xrightarrow[n\to +\infty]{} -\infty$. [/latex]

Q: [latex] Théorème d'encadrement [/latex]
A: [latex] Si $u_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}\ell$, $w_n\xrightarrow[n\to +\infty]{} \ell$ et $u_n\leq v_n\leq w_n$ à partir d'un certain rang, alors $v_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}\ell$.[/latex]

Q: [latex] Théorème de la limite monotone [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
        \item Toute suite croissante $u$ admet une limite et $\lim_{+\infty}u=\sup_{n\in \mathbb{N}}u_n$
        \begin{enumerate}
            \item Dans le cas où $u$ est majorée \textbf{par un réel}, cette limite est réelle et est le plus petit majorant de $u$.
            \item Dans le cas où $u$ n'est pas majorée, cette limite vaut $+\infty$.
        \end{enumerate}
        \item Même résultat dans le cas d'une suite décroissante, en changeant "$\sup$" en "$\inf$", "majorée" en "minorée" et "$+\infty$" en "$-\infty"$.
    \end{itemize}[/latex]

Q: [latex] Suites adjacentes[/latex]
A: [latex] Deux suites $u$ et $v$ sont dites \emph{adjacentes} si, et seulement si
    \begin{enumerate}
        \item $u$ est croissante
        \item $v$ est décroissante
        \item $u-v\xrightarrow[+\infty]{}0$.
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Théorème des suites adjacentes[/latex]
A: [latex] Soient $u$ et $v$ deux suites adjacentes. Alors $u$ et $v$ convergent \textbf{et} ont la même limite.[/latex]

Q: [latex] Approximations décimales d'un réel $a$ [/latex]
A: [latex] Pour tout entier $n$, on note $a_n=\dfrac{\ent{10^n a}}{10^n}$ et $b_n=\dfrac{\ent{10^n a}+1}{10^n}$. Alors ce sont des valeurs approchées par défaut et excès de $a$ à $10^{-n}$, qui sont de plus des décimaux.[/latex]