Title: Mathématiques-PTSI / Théorie des ensembles

Q: [latex] Définition de l'ensemble vide [/latex]
A: [latex]L'ensemble n'ayant aucun élément, noté $\emptyset$ [/latex]

Q: [latex]Définition d'un singleton[/latex]
A: [latex] Ensemble ayant un unique élément.[/latex]

Q: [latex] Définition d'une paire [/latex]
A: [latex] Ensemble ayant deux éléments.[/latex]

Q: [latex] Définition de sous-ensemble.[/latex]
A: [latex]On dit que \emph{$F$ est inclus dans $E$}, et on note $F\subset E$, si, et seulement si, $\forall x, x \in F \implies x\in E$.[/latex]

Q: [latex] Inclusions toujours vraies [/latex]
A: [latex] Pour tout ensemble $E$, on a :
\begin{itemize}
\item $E\subset E$
\item $\emptyset \subset E$.
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Egalité entre deux ensembles [/latex]
A: [latex] Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $E$ et $F$ sont \emph{égaux}, et on note $E=F$, si, et seulement si, $E\subset F$ et $F\subset E$.[/latex]

Q: [latex] Ensemble des parties d'un ensemble $E$.[/latex]
A: [latex]On note $\mathcal{P}(E)$ l'ensemble de tous les sous-ensembles de $E$. Autrement dit, pour tout ensemble $F$
\[F\in \mathcal{P}(E)\iff F\subset E\] [/latex]

Q: [latex] Réunion de deux ensembles [/latex]
A: [latex] $ A\cup B=\{x\in E | x\in A \text{ ou }x\in B\} $ [/latex]

Q: [latex] Intersection de deux ensembles [/latex]
A: [latex] $A\cap B=\{x\in E | x\in A \text{ et }x\in B\}$ [/latex]

Q: [latex] Complémentaire d'un sous-ensemble dans un ensemble.[/latex]
A: [latex] $ E\setminus A=\{x\in E | x\notin A\}$, noté $\bar{A}$ ou $A^C$ quand il n'y a pas de confusion.[/latex]

Q: [latex] Définition de deux ensembles disjoints[/latex]
A: [latex] Leur intersection est vide. [/latex]

Q: [latex] Inclusions toujours vraies pour la réunion [/latex]
A: [latex] $ A\subset A\cup B$ et $A\cup A=A $ [/latex]

Q: [latex] Inclusions toujours vraies pour l'intersection[/latex]
A: [latex] $A\cap B \subset A$ et $A\cap A=A$ [/latex]

Q: [latex] Complémentaire du complémentaire d'un sous-ensemble[/latex]
A: [latex] $ \overline{\overline{A}}=A $ [/latex]

Q: [latex] Lois de De Morgan pour les ensembles [/latex]
A: [latex] $ \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B}$ et $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B} $ [/latex]

Q: [latex]Soient $E$ un ensemble et $A,B$ dans $\mathcal{P}(E)$. Définition de $A$ privé de $B$.[/latex]
A: [latex] $A\setminus B=A\cap B^C=\{x\in E | x\in A \text{ et }x\notin B\}$.[/latex]

Q: [latex] Égalité entre deux $n$-uplets.[/latex]
A: [latex] $(x_1,\dots, x_n)=(y_1,\dots,y_n)\iff \forall k \in \llbracket 1;n \rrbracket, \, x_k=y_k$.[/latex]

Q: [latex] Produit cartésien d'ensembles [/latex]
A: [latex] $ E_1\times \dots \times E_n =\{(x_1, \dots, x_n)\vert \forall k \in \llbracket 1;n\rrbracket, x_k \in E_k \} $ [/latex]