Title: Mathématiques-PTSI / Dérivabilité

Q: [latex] Taux d'accroissement de $f$ entre $x$ et $y$ [/latex]
A: [latex] Pour $x\neq y$, $\tau_f(x,y)=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}$ [/latex]

Q: [latex] Dérivabilité en un point $a$ [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{dérivable en $a$} si, et seulement si, $\tau_{f,a}$ admet une limite finie en $a$. \\
On appelle alors \emph{dérivée de $f$ en $a$ ou nombre dérivé de $f$ en $a$} cette limite, que l'on note $f'(a)$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de Carathéodory [/latex]
A: [latex] $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a)=\ell$ si, et seulement si il existe une application $\phi_{f,a}:I\to \mathbb{R}$ continue en $a$ vérifiant\[\phi_{f,a}(a)=\ell \quad \text{et}\quad \forall x\in I, \, f(x)=f(a)+(x-a)\phi_{f,a}(x).\] [/latex]

Q: [latex] Lien entre dérivabilité et continuité[/latex]
A: [latex] Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$. La réciproque est fausse.[/latex]

Q: [latex] Dérivabilité à gauche en $a$ [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{dérivable à gauche en $a$} si, et seulement si, le taux d'accroissement $\tau_{f,a}$ de $f$ en $a$ admet une limite finie à gauche .
 Dans ce cas, cette limite est appelée dérivée à gauche de $f$ en $a$ et notée $f'_g(a)$. [/latex]

Q: [latex] Dérivabilité à droite en $a$ [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{dérivable à droite en $a$} si, et seulement si, le taux d'accroissement $\tau_{f,a}$ de $f$ en $a$ admet une limite finie à droite .
 Dans ce cas, cette limite est appelée dérivée à droite de $f$ en $a$ et notée $f'_d(a)$. [/latex]

Q: [latex] Interprétation géométrique de la dérivée [/latex]
A: [latex] Si $f$ est dérivable  en $a$, on appelle \emph{tangente à $f$ en $a$} la droite d'équation
    \[y=f(a)+f'(a)(x-a)\] [/latex]

Q: [latex] Interprétation cinématique de la dérivée [/latex]
A: [latex] Un mobile se déplace sur un axe. On note $x(t)$ la distance qu’il a parcourue à l’instant $t$. La vitesse instantanée du mobile à l’instant $t_0$ est la limite des vitesses moyennes $\dfrac{x(t_0+h)-x(t_0)}{h}$ lorsque $h$ tend vers zéro. Cette limite est donc le nombre dérivé de la fonction $x$ en $t_0$. [/latex]

Q: [latex] Lien entre dérivabilité, dérivabilité à gauche et à droite[/latex]
A: [latex] $f$ est dérivable en $a$ si, et seulement si, $f$ est dérivable à gauche et à droite en $a$ \textbf{et} $f'_g(a)=f'_d(a)$. [/latex]

Q: [latex] Dérivabilité sur un intervalle [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{dérivable sur $I$} lorsque $f$ est dérivable en tout point de $I$. \\
On appelle alors \emph{fonction dérivée de $f$} et on note $f'$ ou $\frac{\dd f}{\dd x}$ l'application $x\mapsto f'(x)$.[/latex]

Q: [latex] Somme de deux fonctions dérivables en $a$ [/latex]
A: [latex] est dérivable en $a$ et $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$. [/latex]

Q: [latex] Produit de deux fonctions dérivables en $a$ [/latex]
A: [latex] est dérivable en $a$ et $(f\times g)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)$. [/latex]

Q: [latex] La multiplication par un scalaire, d'une fonction dérivable en $a$ [/latex]
A: [latex] est dérivable en $a$ et $(\lambda f)'(a)=\lambda f'(a)$. [/latex]

Q: [latex] Le quotient de deux fonctions dérivables en $a$ [/latex]
A: [latex] Si $g$ ne s'annule pas au voisinage de $a$, alors $\frac{f}{g}$ est dérivable au voisinage de $a$ et $\left(\frac{f}{g}\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{g(a)^2}$ [/latex]

Q: [latex] La composition de deux fonctions dérivables [/latex]
A: [latex] Soient $g:J\to \mathbb{R}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ avec $f(I)\subset J$ et $a\in I$.Si $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $f(a)$, alors $g\circ f$ est dérivable en $a$ et \[(g\circ f)'(a)=f(a)\times g'(f(a))\] [/latex]

Q: [latex] Dérivée de la réciproque d'une fonction bijective [/latex]
A: [latex] Soit $f:I\to J$ bijective, continue de réciproque $f^{-1}:J\to I$. Soit $a\in I$, on note $b=f(a)$.
 Si $f$ est dérivable en $a$ et si $f'$ ne s'annule pas en $a$, alors $f^{-1}$ est dérivable en $b$ et \[(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(f^{-1}(b))}.\] [/latex]

Q: [latex] Somme de deux fonctions de classe $\mathscr{C}^n$[/latex]
A: [latex] $(f+g)\in \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R})$ et $(f+g)^{(n)}=f^{(n)}+g^{(n)}$. [/latex]

Q: [latex] Formule de Leibniz [/latex]
A: [latex] Si $f,g\in \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R})$. Alors $(fg)\in \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R})$ et \[(fg)^{(n)}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}\]
         [/latex]

Q: [latex] Quotient de deux fonctions de classe $\mathscr{C}^n$[/latex]
A: [latex] est de classe $\mathscr{C}^n$ [/latex]

Q: [latex] Composée de fonctions de classe $\mathscr{C}^n$[/latex]
A: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$, $f\in \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R})$, $g\in \mathscr{C}^n(J,\mathbb{R})$ avec $g(J)\subset I$. Alors $(f\circ g)\in \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R})$. [/latex]

Q: [latex] Réciproque d'une fonction bijective de classe $\mathscr{C}^n$[/latex]
A: [latex] Soient $n\in \mathbb{N}$ et $f\in \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R})$. Si $f$ est bijective et $f'$ ne s'annule pas, alors $f^{-1}\in   \mathscr{C}^n(I,\mathbb{R})$. [/latex]

Q: [latex] Minimum local [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ a un \emph{minimum}  \emph{local en $a$} s'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $f_{|V\cap I}$ a un minimum global en $a$. [/latex]

Q: [latex] Maximum local [/latex]
A: [latex] On dit que $f$ a un \emph{maximum} \emph{local en $a$} s'il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que $f_{|V\cap I}$ a un maximum global en $a$.[/latex]

Q: [latex] Point critique [/latex]
A: [latex] Si $f$ est dérivable. On appelle point critique tout élément $a\in I$, tel que $f'(a)=0$. [/latex]

Q: [latex] Lien entre extremum et point critique [/latex]
A: [latex] Soit $a\in I$, qui n'est pas sur le bord de l'intervalle. Si $f$ est dérivable en $a$ et $f$ possède un extremum local en $x$, alors $f'(a)=0$. La réciproque est fausse[/latex]

Q: [latex] Théorème de Rolle [/latex]
A: [latex] Soient $a<b\in \mathbb{R}$ et $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue sur l'intervalle \textbf{fermé} $[a,b]$, dérivable sur l'intervalle \textbf{ouvert} $]a,b[$, vérifiant $f(a)=f(b)$.
 Alors il existe $c\in ]a,b[$ (\textbf{ouvert}) tel que $f'(c)=0$. [/latex]

Q: [latex] Théorème/Egalité des accroissements finis [/latex]
A: [latex] Soient $a<b\in \mathbb{R}$ et $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue sur l'intervalle \textbf{fermé} $[a,b]$, dérivable sur l'intervalle \textbf{ouvert} $]a,b[$. Il existe $c\in ]a,b[$ (\textbf{ouvert}) tel que $f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$. [/latex]

Q: [latex] Inégalité des accroissements finis [/latex]
A: [latex] Soient $a\leq b\in \mathbb{R}$ et $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue sur l'intervalle \textbf{fermé} $[a,b]$, dérivable sur l'intervalle \textbf{ouvert} $]a,b[$. Si $\abs{f'}$ est majorée par $K>0$ sur $]a,b[$, alors $\abs{f(b)-f(a)}\leq K\abs{b-a}$. [/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si, [...]  [/latex]
A: [latex]$\forall x \in I, \,  f'(x)\geq 0$[/latex]

Q: [latex] Théorème de la limite de la dérivée [/latex]
A: [latex]Soient $\ell \in \overline{\mathbb{R}}$ et $f:I\to \mathbb{R}$ continue sur $I$ et dérivable sur $I\setminus \{a\}$ vérifiant $\lim_{x\to a, x\neq a}f'(x)=\ell$. Alors
    \begin{itemize}
        \item dans le cas où $\ell\in \mathbb{R}$ : $f$ est dérivable en $a$, $f'$ est continue en $a$ et $f'(a)=\ell$. Ainsi $f$ admet un unique prolongement $\widetilde{f}$ dérivable sur $I$ vérifiant $\widetilde{f}(a)=\lim_a f$ et $\widetilde{f}'(a)=\lim_a f'$.
        \item dans le cas où $\ell=\pm \infty$ : $f$ n'admet pas de dérivée en $a$ et son graphe admet une demi-tangente verticale en $(a,f(a))$ dirigée vers le haut ou le bas.
    \end{itemize}  [/latex]

Q: [latex] Dérivabilité d'une fonction à valeurs complexes[/latex]
A: [latex] Soit $a\in I$. On dit que $f$ est \emph{dérivable} \emph{en $a$} si $\pRe(f)$ et $\pIm(f)$ le sont. Dans ce cas, on note $f'(a)$ le complexe $f'(a)=(\pRe(f))'(a)+i (\pIm(f))'(a)$. [/latex]

Q: [latex] Inégalité des accroissements finis version complexe[/latex]
A: [latex] Soient $a\leq b\in \mathbb{R}$ et $f:[a,b]\to \mathbb{C}$ continue sur l'intervalle \textbf{fermé} $[a,b]$, dérivable sur l'intervalle \textbf{ouvert} $]a,b[$. Si $\abs{f'}$ est majorée par $K>0$ sur $]a,b[$, alors $\abs{f(b)-f(a)}\leq K\abs{b-a}$. [/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $\forall x\in I, \, f'(x)\geq 0$ si, et seulement si, [...]   [/latex]
A: [latex] $f$ est croissante sur $I$[/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est croissante sur $I$ [...] $\forall x\in I, f'(x)\geq 0$.  [/latex]
A: [latex] si, et seulement si[/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si, [...][/latex]
A: [latex]$\forall x\in I, \, f'(x)\leq 0$[/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. [...] si, et seulement si, $\forall x\in I, f'(x)\leq 0$.[/latex]
A: [latex]  $f$ est décroissante sur $I$[/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est décroissante sur $I$ [...] $\forall x\in I, \, f'(x)\leq 0$.[/latex]
A: [latex] si, et seulement si[/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si [...] [/latex]
A: [latex]  $\forall x\in I, \, f'(x)= 0$[/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. [...] si, et seulement si, $\forall x\in I, \, f'(x)= 0$[/latex]
A: [latex] $f$ est constante sur $I$ [/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est constante sur $I$ [...] $\forall x\in I, \, f'(x)= 0$.[/latex]
A: [latex] si, et seulement si[/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. Si $\forall x\in I, \, f'(x)> 0$, alors [...] [/latex]
A: [latex]  $f$ est strictement croissante sur $I$.[/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. Si [...], alors $f$ est strictement croissante sur $I$. [/latex]
A: [latex] $\forall x\in I, \, f'(x)> 0$[/latex]

Q: [latex]Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $\forall x\in I, \, f'(x)> 0$ [...] $f$ est strictement croissante sur $I$. [/latex]
A: [latex] implique [/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. Si $\forall x\in I, \, f'(x)< 0$, alors [...] .[/latex]
A: [latex] $f$ est strictement décroissante sur $I$. [/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. Si [...] , alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.[/latex]
A: [latex]  $\forall x\in I, \, f'(x)< 0$[/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $\forall x\in I, \, f'(x)< 0$ [...] $f$ est strictement décroissante.[/latex]
A: [latex] implique [/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est strictement croissante sur $I$ si, et seulement si, [...] [/latex]
A: [latex] $\forall x\in I, \, f'(x)\geq 0$ et $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés. [/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. [...] si, et seulement si, $\forall x\in I, \, f'(x)\geq 0$ et $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés. [/latex]
A: [latex] $f$ est strictement croissante sur $I$[/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est strictement croissante sur $I$ [...]  $\forall x\in I, \, f'(x)\geq 0$ et $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés. [/latex]
A: [latex] si, et seulement si[/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est strictement décroissante sur $I$ si, et seulement si, [...] [/latex]
A: [latex] $\forall x\in I, \, f'(x)\leq 0$ et $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés. [/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. [...] si, et seulement si, $\forall x\in I, \, f'(x)\leq 0$ et $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés. [/latex]
A: [latex]   $f$ est strictement décroissante sur $I$[/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{D}(I,\mathbb{R})$. $f$ est strictement décroissante sur $I$ [...] $\forall x\in I, \, f'(x)\leq 0$ et $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés. [/latex]
A: [latex] si, et seulement si[/latex]

Q: [latex] Théorème de prolongement $\mathcal{C}^1$[/latex]
A: [latex] Soit $f$ de classe $\mathscr{C}^1$ sur $I\setminus \{a\}$. Si $f$ et $f'$ possèdent une limite finie en $a$, alors $f$ admet un unique prolongement $\widetilde{f}$ de classe $\mathscr{C}^1$ sur $I$ et on a $\widetilde{f}(a)=\lim_a f$ et $\widetilde{f}'(a)=\lim_a f'$ [/latex]