Title: Mathématiques-PTSI / Probabilités sur un univers fini

Q: [latex] Expérience aléatoire [/latex]
A: [latex] Une expérience est dite \emph{aléatoire} lorsqu’il est impossible de prévoir à l’avance et avec certitude le résultat, c’est à dire ce qu’il va se passer. On demande également que lorsque on répète l’expérience plusieurs fois (toujours dans les mêmes conditions), on obtienne des résultats différents. [/latex]

Q: [latex] Univers [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{univers (des possibles)} l'ensemble des résultats possibles d'une expérience aléatoire, traditionnellement, noté $\Omega$. C'est un ensemble non vide. Cette année, on se limitera au cas où $\Omega$ est fini. [/latex]

Q: [latex] Évènement. Évènement élémentaire [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{évènement}, toute partie de l'univers, c'est à dire tout élément de $\mathcal{P}(\Omega)$. On appelle \emph{évènement élémentaire} tout évènement singleton, i.e. de la forme $\{\omega\}$ pour $\omega \in \Omega$. [/latex]

Q: [latex] Évènement impossible [/latex]
A: [latex] Un évènement est dit \emph{impossible} s'il désigne l'ensemble vide [/latex]

Q: [latex] Évènement certain [/latex]
A: [latex] Un évènement est dit \emph{certain} s'il désigne l'univers tout entier.[/latex]

Q: [latex] Évènement contraire [/latex]
A: [latex] $\Omega\setminus A$, noté $\overline{A}$.[/latex]

Q: [latex] Évènement $A$ ou $B$[/latex]
A: [latex] $A\cup B$[/latex]

Q: [latex] Évènement $A$ et $B$ [/latex]
A: [latex] $A \cap B$ [/latex]

Q: [latex] Évènements incompatibles $A$ et $B$ [/latex]
A: [latex] $A\cap B=\emptyset$. [/latex]

Q: [latex] Évènements $A_1,\cdots, A_n$ sont (mutuellement) incompatibles[/latex]
A: [latex] Des évènements $A_1,\cdots, A_n$ sont \emph{(mutuellement) incompatibles} lorsque $A_1\cap \cdots A_n=\emptyset$. [/latex]

Q: [latex] $A_1 , \cdots, A_n$ sont deux à deux incompatibles [/latex]
A: [latex] On dit que $A_1 , \cdots, A_n$ sont \emph{deux à deux incompatibles} lorsque $\forall i\neq j$, $A_i\cap A_j=\emptyset$.
 De ce cas, on dit que leur union $A_1\cup \cdots A_n$ est \emph{disjointe}, et on note $A_1\sqcup \cdots A_n$. [/latex]

Q: [latex] Variable aléatoire. Variable aléatoire réelle [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{variable aléatoire} $X$ toute application définie sur $\Omega$, à valeurs dans un ensemble $E$. Lorsque $E\subset \R$, on dit que la v.a. est \emph{réelle} [/latex]

Q: [latex] Soit $X$ une v.a. réelle dans un ensemble $E$.Pour toute partie $A$ de $E$, on note $\{X\in A\}$ ou $(X\in A)$  pour quel événement ? [/latex]
A: [latex] $X^{-1}(A)=\{\omega \in \Omega, X(\omega)\in A\}$ [/latex]

Q: [latex] Système complet d'évènements [/latex]
A: [latex] On dit qu'une famille $(A_i)_{i\in I}$ d'évènements dans un univers $\Omega$ est un \emph{système complet d'évènements} lorsque
    \begin{enumerate}
        \item ces évènements sont deux à deux incompatibles;
        \item et leur union (disjointe) est certaine : $\bigsqcup_{i\in I}A_i=\Omega$.
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Soit $(A_i)_{i\in I}$ un système complet d'évènements sur un univers $\Omega$. Soit $B$ un évènement, alors $B$ peut s'écrire \[B=\][/latex]
A: [latex] $B=\bigsqcup_{i\in I}(B\cap A_i)$. [/latex]

Q: [latex] Probabilité [/latex]
A: [latex] Une \emph{probabilité} sur un univers $\Omega$ est une application $\mathbb{P}:\mathcal{P}(\Omega)\to \R$ vérifiant
    \begin{enumerate}
        \item pour tout évènement $A$, $\mathbb{P}(A)\in [0,1]$.
        \item $\mathbb{P}(\Omega)=1$.
        \item pour tout couple $(A,B)$ d'évènements disjoints,
        \[\mathbb{P}(A\sqcup B)=\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B).\]
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Espace probabilisé fini [/latex]
A: [latex] Un \emph{espace probabilisé fini} est la donnée d'un couple $(\Omega, \mathbb{P})$ où $\Omega$ est un univers fini et $\mathbb{P}$ est une probabilité sur $\Omega$. [/latex]

Q: [latex] Probabilité uniforme [/latex]
A: [latex] Soit $\Omega$ un univers fini non vide. L'application
    \[\fonction{\mathbb{P}}{\mathcal{P}(\Omega)}{\R}{A}{\dfrac{\Card(A)}{\Card(\Omega)}}\] est une probabilité, appelée \emph{probabilité uniforme}.[/latex]

Q: [latex] Si $A\subset B$. Que dire de $\mathbb{P}(A)$ et $\mathbb{P}(A)$ ? [/latex]
A: [latex] $\mathbb{P}(A)\leq \bP(B) $[/latex]

Q: [latex] $\bP(\overline{A})$ [/latex]
A: [latex] $\bP(\overline{A})=1-\bP(A)$ [/latex]

Q: [latex] $\bP(A\cup B)$ [/latex]
A: [latex] $\bP(A\cup B)=\bP(A)+\bP(B)-\bP(A\cap B)$ [/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \N$, $A_1,\cdots, A_n$ des évènements deux à deux incompatibles. Alors,
    \[\bP\left(\bigsqcup_{i=1}^nA_i\right)=\] [/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N$, $A_1,\cdots, A_n$ des évènements deux à deux incompatibles. Alors,
    \[\bP\left(\bigsqcup_{i=1}^nA_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\bP(A_i)\] [/latex]

Q: [latex] Formule des probabilités totales - Version 1[/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N^*$, $(A_i)_{i\in \llbracket 1, n \rrbracket}$ un système complet d'évènements et $B$ un évènement. Alors \[\mathbb{P}(B)=\sum_{i=1}^{n}\bP(A_i\cap B).\] [/latex]

Q: [latex] Caractérisation d'une probabilité sur un univers fini [/latex]
A: [latex] Soient $p_1,\cdots, p_n$ $n$ réels positifs ou nuls, de somme égale à $1$. Alors il existe une unique fonction $\bP$ de probabilité sur $\Omega$ telle que pour tout $i\in \llbracket 1,n \rrbracket$, $\bP(\{\omega_i\})=p_i$. [/latex]

Q: [latex] Probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ [/latex]
A: [latex] Soit $B$ un évènement de probabilité \textbf{non nulle}. Pour tout évènement $A$, on définit la \emph{probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$} :
    \[\bP(A|B)=\bP_B(A)=\dfrac{\bP(A\cap B)}{\bP(B)}.\] [/latex]

Q: [latex] Que dire de l'application $\bP_B$ ? [/latex]
A: [latex] C'est une probabilité sur $\Omega$ [/latex]

Q: [latex] Formule des probabilités composées [/latex]
A: [latex]     Soient $(A_i)_{1\leq i \leq n }$ une famille d'événements telle que $\mathbb{P}(\bigcap_{i=1}^n A_i)\neq 0$. Alors \[\mathbb{P}(\bigcap_{i=1}^n A_i)=\mathbb{P}(A_1)\mathbb{P}(A_2|A_1)\mathbb{P}(A_3|A_2\cap A_1)\cdots \mathbb{P}(A_n|A_1\cap \cdots \cap A_{n-1}).\]
 [/latex]

Q: [latex] Formule des probabilités totales - Version 2 [/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N^*$ et $(B_i)_{1\leq i \leq n}$ un système complet d'événements de probabilité \textbf{toutes non nulles} et $A$ un événement.Alors \[\bP(A)=\sum_{i=1}^{n}\bP(A|B_i)\bP(B_i)\][/latex]

Q: [latex] Formule de Bayes[/latex]
A: [latex]  Soient $A$ et $B$ deux évènements avec $\bP(B)>0$ et $\bP(A)>0$, alors \[\bP(A|B)=\dfrac{\bP(B|A)\bP(A)}{\bP(B)}.\] [/latex]

Q: [latex] Formule de Bayes généralisée [/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N^*$ et $(A_i)_{1\leq i \leq n}$ un système complet d'événements de probabilité \textbf{toutes non nulles} et $B$ un événement de probabilité non nulle. Alors pour tout $j\in \llbracket 1, n\rrbracket$, \[\bP(A_j|B)=\dfrac{\bP(B|A_j)\bP(A_j)}{\sum_{i=1}^{n}\bP(B|A_i)\bP(A_i)}\] [/latex]

Q: [latex] Indépendance de deux évènements [/latex]
A: [latex] On dit que deux événements $A$ et $B$ sont \emph{indépendants} lorsque $\bP(A\cap B)=\bP(A)\bP(B)$.[/latex]

Q: [latex] Mutuelle indépendance d'une famille d'évènements [/latex]
A: [latex] Soit $n$ un entier. On dit que les évènements $A_1, \cdots A_n$ sont \emph{(mutuellement) indépendants} lorsque pour toute partie $I$ de $\llbracket 1,n\rrbracket$, on a \[\bP\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)=\prod_{i\in I}\bP(A_i)\] [/latex]

Q: [latex] Indépendance deux à deux d'une famille d'évènements [/latex]
A: [latex] Soit $n$ un entier. On dit que les évènements $A_1, \cdots A_n$ sont \emph{deux à deux indépendants} lorsque pour tout $i\neq j$, $A_i$ et $A_j$ sont indépendants.[/latex]