Title: Mathématiques-PTSI / Introduction aux espaces vectoriels

Q: [latex] Parmi $\N$, $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$  et $\R$, lesquels sont des e.v. ?[/latex]
A: [latex] Il n'y a que $\R$. Les autres ne sont pas stables par multiplication par un réel. [/latex]

Q: [latex] Espace vectoriel d'applications [/latex]
A: [latex] Soient $X$ un ensemble non vide et $E$ un $\K$ ev. On considère $F=E^X$, que l'on munit de deux lois
    \[\fonction{+}{F\times F}{F}{(f,g)}{\fonction{}{X}{E}{x}{f(x)+g(x)}}\]
    et \[\fonction{.}{\K\times F}{F}{(\lambda,f)}{\fonction{}{X}{E}{x}{\lambda.f(x)}}\]
    Alors $(F,+,.)$ est un $\K$-ev.[/latex]

Q: [latex] Espace vectoriel produit [/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N^*$ et $(E_1,+,.), \cdots (E_n,+,.)$ $n$ $\K$-ev. On considère l'ensemble produit $E=E_1\times \cdots \times E_n$ que l'on munit des deux lois \[\fonction{+}{E\times E}{E}{((x_k),(y_k))}{(x_k+y_k)}\]
    \[\fonction{.}{\K\times E}{E}{(\lambda, (x_k))}{(\lambda x_k)}\]
    Alors $(E,+,.)$ est un $\K$ ev, appelé \emph{espace vectoriel produit}. [/latex]

Q: [latex] Que peut-on dire de l'union de plusieurs sev ? [/latex]
A: [latex] Ce n'est pas un sev en général. [/latex]

Q: [latex]Définition de $\K$ espace vectoriel [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{$\K$-espace vectoriel} (ou espace vectoriel sur $\K)$ tout triplet $(E,+,.)$ où $E$ est muni d'une loi de composition interne $+$, appelée \emph{addition}
    \[\fonction{+}{E\times E}{E}{(u,v)}{u+v}\]
    et d'un \emph{produit extérieur }
    \[\fonction{.}{\K\times E}{E}{(\lambda, u)}{\lambda. u}\] vérifiant
\begin{enumerate}
    \item l'addition dans $E$ \begin{enumerate}
        \item associative;
        \item commutative;
        \item admet un élément neutre, noté $0_E$, appelé le \emph{vecteur nul};
        \item tout élément $u$ appartement à $E$ admet un opposé pour l'addition, noté $-u$;
    \end{enumerate}
    \item le produit extérieur
    \begin{enumerate}
        \item $\forall v\in E$, $1.v=v$.
        \item est compatible avec le produit dans $\K$ : $\forall \lambda, \mu \in \K^2, \forall u \in E, \lambda.(\mu.u)=(\lambda\times\mu).u$;
        \item est distributif à gauche et à droite par rapport à l'addition : $\forall \lambda,\mu \in \forall u,v\in E^2, (\lambda+\mu).u=\lambda.u+\mu.u$ et $\lambda.(u+v)=\lambda.u+\lambda.v$
    \end{enumerate}
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Si $E$ est un $\C$-espace vectoriel, est-ce également un $\R$-espace vectoriel ? [/latex]
A: [latex] Oui ![/latex]

Q: [latex] Si $E$ est un $\R$-espace vectoriel, est-ce également un $\C$-espace vectoriel ? [/latex]
A: [latex] Non, on peut penser à l'ensemble $\R^2$ : on prend un vecteur $(1,0)\in \R^2$,  or $i\in \C$ et $i(1,0)\notin \R^2$ [/latex]

Q: [latex]Soient $\lambda\in \K$ et $u\in E$.
    $\lambda.u=0_E$ $\iff$ [/latex]
A: [latex] $\lambda=0_{\K}$ ou $u=0_{E}$ [/latex]

Q: [latex] Donner des exemples d'espaces vectoriels [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
\item $(\K^n,+,.)$
\item L'ensemble des fonctions d'un espace $A$ à valeurs dans $\K$, muni de l'addiction des fonctions et de la multiplication par un élément de $\K$
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex] Combinaison linéaire [/latex]
A: [latex] Soient $u_1,\cdots u_n$ $n$ vecteurs de $E$, avec $n\in \N^*$. On appelle \emph{combinaison linéaire} de $u_1, \cdots u_n$, tout vecteur de la forme $u=\sum_{k=1}^{n}\lambda_k.u_k$, avec $\lambda_1, \cdots, \lambda_n\in \K$.
    Par convention, la combinaison linéaire de $0$ vecteur vaut $0_E$. [/latex]

Q: [latex] Défintion de sous-espace vectoriel [/latex]
A: [latex] On dit qu'un ensemble $F$ est un \emph{sous-espace vectoriel} de $E$ lorsque
       \begin{enumerate}
           \item $F\subset E$
           \item $0_E\in F$
           \item $F$ est stable par combinaisons linéaires quelconques de deux vecteurs : $\forall (\lambda,\mu) \in K^2, \forall (u,v)\in F^2$, $\lambda u+\mu v\in F$.
       \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Caractérisation d'un sous-espace vectoriel [/latex]
A: [latex]Soit $E$ un espace vectoriel. $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si, et seulement si,
\begin{enumerate}
\item $F\subset E$
\item $0_E\in F$
\item $\forall \lambda\in \K, \forall (u,v)\in F^2, \lambda u+v\in F$
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Comment montre-t-on en pratique qu'un espace est un espace vectoriel ? [/latex]
A: [latex]
\begin{itemize}
\item On peut vérifier chacun des points de la définition, mais c'est long...
\item Plus rapide : On montre que c'est un sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel plus gros. (Mais pour cela, il faut connaître des exemples d'espaces vectoriels.)
\end{itemize}
[/latex]

Q: [latex] Que dire de l'intersection de plusieurs sous-espaces vectoriels ? [/latex]
A: [latex] C'est toujours un sous-espace vectoriel ! [/latex]

Q: [latex] Comment sont appelés les éléments d'un espace vectoriel ? [/latex]
A: [latex] Les vecteurs [/latex]

Q: [latex] Soit $E$ un $\K$-espace vectoriel. Comment sont appelés les élèments de $\K$ ? [/latex]
A: [latex] Les scalaires[/latex]

Q: [latex] $(\R,+,\times)$ est [...] [/latex]
A: [latex] un $\R$-e.v. mais ce n'est pas un $\C$-e.v.[/latex]

Q: [latex] $(\C,+,\times)$ est [...][/latex]
A: [latex] un $\R$-e.v. et un $\C$-e.v.[/latex]