Title: Mathématiques-PTSI / Géométrie du plan

Q: [latex] Vecteur du plan [/latex]
A: [latex]  un objet géométrique caractérisant une translation. Il est défini de façon unique par
    \begin{itemize}
        \item une \emph{direction} : souvent matérialisée par une droite du plan. Toutes les droites parallèles entre elles définissent une même direction.
        \item un \emph{sens}, déterminé par la flèche. Il indique le sens du déplacement de la translation à partir d'une origine fixée sur une droite matérialisant sa direction.
        \item une \emph{norme}, notée $\absd{\overrightarrow{u}}$, qui indique la longueur du déplacement.
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] $\vecteur{AB}=\vecteur{CD}$ ssi [/latex]
A: [latex]$ABDC$ est un parallélogramme [/latex]

Q: [latex] Somme de deux vecteurs [/latex]
A: [latex] Le vecteur $\vecteur{u_1}+\vecteur{u_2}$ est le vecteur caractérisant la translation $t_2\circ t_1$. [/latex]

Q: [latex] Relation de Chasles [/latex]
A: [latex] $\vecteur{AB}+\vecteur{BC}=\vecteur{AC}$ [/latex]

Q: [latex] Vecteur nul [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{vecteur nul}, noté $\vecteur{0}$, le vecteur associé à la translation $id$. Autrement dit, $\vecteur{AB}=\vecteur{0}$ ssi $A=B$. [/latex]

Q: [latex] Produit extérieur de $\vecteur{u_1}$ par $\lambda\in \R$ [/latex]
A: [latex] le vecteur $\lambda \vecteur{u_1}$ de même direction, de meme sens si $\lambda>0$ et de sens opposé sinon, et de norme multipliée par $\abs{\lambda}$. [/latex]

Q: [latex] Propriétés de l'addition de deux vecteurs [/latex]
A: [latex]     \begin{itemize}
        \item commutative :  $\forall (\vec{u},\vec{v}) \in \vec{P}^2, \vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$;
        \item associative : $\forall (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) \in \vec{P}^3, (\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$;
        \item $\vec{0}$ est l'élément neutre $\forall \vec{u} \in \vec{P}, \vec{u}+\vec{0}=\vec{u}$ ;
        \item Tout vecteur $\vec{u}$ a un opposé, noté $-\vec{u}$ $\forall \vec{u} \in \vec{P}, \exists !\vec{v} \in \vec{P}, \vec{u}+\vec{v}=\vec{0}$.
        On définit alors pour deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de $\vec{P}$ la notation $\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$.
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Propriétés du produit extérieur d'un vecteur par un scalaire [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
        \item associatif : $\forall (\lambda,\mu)\in\R^2, \forall \vec{u} \in \vec{P}, \lambda(\mu\vec{u})=(\lambda\mu)\vec{u}$
        \item distributif sur l'addition :  $\forall \lambda\in\R, \forall (\vec{u},\vec{v}) \in \vec{P}^2, \lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$
        \item $\forall (\lambda,\mu)\in\R^2, \forall \vec{u} \in \vec{P}, (\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{u}$
        \item $\forall \vec{u} \in \vec{P}, 1\vec{u}=\vec{u}$
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] L'unique point $B$ du plan vérifiant $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$  [/latex]
A: [latex] $A+\vec{u}$[/latex]

Q: [latex] $\|\vec{u}\|=0 \iff$ [/latex]
A: [latex] $\vec{u}=\vec{0}$[/latex]

Q: [latex] $AB=0 \iff $[/latex]
A: [latex] $A=B$[/latex]

Q: [latex] Inégalité triangulaire [/latex]
A: [latex] $\|\vec{u}+\vec{v}\|\leq \|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|$, autrement dit, $AC \leq AB+BC$ [/latex]

Q: [latex] $\|\lambda.\vec{u}\|=[...]$ [/latex]
A: [latex] $\|\lambda.\vec{u}\|=|\lambda|\|\vec{u}\|$ [/latex]

Q: [latex] Vecteur unitaire [/latex]
A: [latex] Un vecteur est dit \emph{unitaire} (ou normé) s'il a une norme égale à 1. [/latex]

Q: [latex] $(\vec{u},\vec{u})\equiv [...] $ [/latex]
A: [latex] $(\vec{u},\vec{u})\equiv 0 [2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] $(\vec{u},-\vec{u})\equiv[...]$ [/latex]
A: [latex] $(\vec{u},-\vec{u})\equiv\pi [2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] $(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})\equiv[...]$ [/latex]
A: [latex] $(\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})\equiv (\vec{u},\vec{w}) [2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] $(\vec{v},\vec{u})\equiv [...]$ [/latex]
A: [latex] $(\vec{v},\vec{u})\equiv -(\vec{u},\vec{v}) [2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] $(-\vec{u},\vec{v})\equiv [...]$[/latex]
A: [latex] $(-\vec{u},\vec{v})\equiv (\vec{u},\vec{v})+\pi [2\pi]$[/latex]

Q: [latex] $(-\vec{u},-\vec{v})\equiv [...]$ [/latex]
A: [latex] $(-\vec{u},-\vec{v})\equiv (\vec{u},\vec{v}) [2\pi]$ [/latex]

Q: [latex] Vecteurs colinéaires [/latex]
A: [latex] Deux vecteurs $\vecteur{u_1}$ et $\vecteur{u_2}$ sont \emph{colinéaires} s'ils forment un angle $\theta\equiv 0[\pi]$, ou si l'un des deux est nul. Autrement dit, il existe $\lambda\in \R$, $\vecteur{u_1}=\lambda \vecteur{u_2}$ ou $\vecteur{u_2}=\lambda \vecteur{u_1}$  [/latex]

Q: [latex] Vecteurs orthogonaux [/latex]
A: [latex] Deux vecteurs non nuls sont \emph{orthogonaux} si l'un d'entre eux est nul ou s'ils forment un angle $\theta\equiv \frac{\pi}{2}[\pi]$. [/latex]

Q: [latex] Projeté orthogonal d'un point sur une droite [/latex]
A: [latex] Soit $(d)$ une droite et $A$ un point du plan. Le \emph{projeté orthogonal $H$ de $A$ sur $(d)$} est l'unique point de la droite $(d)$ tel que $(AH)\bot (d)$  [/latex]

Q: [latex] Base du plan [/latex]
A: [latex] Une \emph{base du plan} est la donnée d'un couple de vecteurs $(\vecteur{i}, \vecteur{j})$ non colinéaires. [/latex]

Q: [latex] Repère du plan [/latex]
A: [latex] Un \emph{repère du plan} est la donnée d'un triplet $(A,\vecteur{i}, \vecteur{j})$, où $A$ est un point de plan et $(\vecteur{i},\vecteur{j})$ forment une base du plan. Généralement, on note $O$ le point $A$. Le point $O$ est appelé \emph{origine} du repère. Les droites passant par $O$ et dirigées par les vecteurs $\vecteur{i}$ et $\vecteur{j}$ dont appelés \emph{axes du repère}, notées généralement $(Ox)$ et $(Oy)$.[/latex]

Q: [latex] Base orthogonale [/latex]
A: [latex] Une base $(\vecteur{i},\vecteur{j})$ est dite \emph{orthogonale} lorsque les vecteurs qui la composent sont orthogonaux. [/latex]

Q: [latex] Base orthonormée [/latex]
A: [latex] Une base $(\vecteur{i},\vecteur{j})$ est dite \emph{orthonormée} lorsque les vecteurs qui la composent sont orthogonaux et normés. [/latex]

Q: [latex] Repère orthonormé direct [/latex]
A: [latex] Un repère orthonormé est \emph{direct} lorsque $(\vecteur{i},\vecteur{j})\equiv \frac{\pi}{2}[\pi]$. Sinon, on dit qu'il est \emph{indirect}. [/latex]

Q: [latex] Coordonnées d'un vecteur dans une base [/latex]
A: [latex] Soient $(\vecteur{i}, \vecteur{j})$ une base du plan.
Alors, pour tout vecteur $\vec{u}$ de $\vec{P}$, il existe un unique couple de réels $(x,y)$ tel que $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$.
        On dit alors que $\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$. On note $\vecteur{u}\begin{pmatrix}
            x\\y
        \end{pmatrix}_{(O,\vec{i},\vec{j})}$, ou s’il n’y a pas d’ambiguïté sur la base dans laquelle on travaille, $\vecteur{u}\begin{pmatrix}
            x\\y
        \end{pmatrix}$.
        [/latex]

Q: [latex] Coordonnées d'un point dans un repère [/latex]
A: [latex] Soit $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$ un repère du plan et $M$ un point du plan. Les \emph{coordonnées du point $M$} dans ce repère sont les coordonnées du vecteur $\vecteur{OM}$ dans la base $(\vecteur{i},\vecteur{j})$. On note $M(x,y)_{(O,\vec{i},\vec{j})}$, ou s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le repère dans lequel on travaille, $M(x,y)$. [/latex]

Q: [latex] Coordonnées de $\vecteur{AB}$ [/latex]
A: [latex] $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}
        x_B-x_A\\ y_B-y_A
    \end{pmatrix}$ [/latex]

Q: [latex] Coordonnées de $B=A+\vec{u}$[/latex]
A: [latex] $B(x_A+x_u,y_A+y_u)$ [/latex]

Q: [latex] Coordonnées de $\vec{u}+\vec{v}$ [/latex]
A: [latex] $\vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix}x_u+x_v\\y_u+y_v\end{pmatrix}$ [/latex]

Q: [latex] Coordonnées de $\lambda\vec{u}$ [/latex]
A: [latex] $\lambda\vec{u}\begin{pmatrix}
        \lambda x_u\\
        \lambda y_u
    \end{pmatrix}$ [/latex]

Q: [latex] Coordonnées du milieu de $[AB]$ [/latex]
A: [latex] $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ [/latex]

Q: [latex]Soient $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath})$ un \textbf{R.O.N} du plan, $M$ un point de $P$ et $\vec{u}$ un vecteur de $\vec{P}$.
    Si $M(x,y)$, alors $OM=[...]$.[/latex]
A: [latex]$OM=\sqrt{x^2+y^2}$[/latex]

Q: [latex] Repère polaire associé au réel $\theta$[/latex]
A: [latex] Soit $(O, \vec{i}, \vec{j})$ un R.O.N.D., et $\theta \in \mathbb{R}$. Le \emph{repère polaire associé au réel $\theta$} est le R.O.N.D. $(O, \vec{u}(\theta), \vec{v}(\theta))$, où $\vec{u}(\theta)=\cos (\theta) \vec{i}+\sin (\theta) \vec{j}$, et $\vec{v}(\theta)=$ $-\sin (\theta) \vec{i}+\cos (\theta) \vec{j}$. [/latex]

Q: [latex] Couple de coordonnées polaires d'un point $M$ [/latex]
A: [latex] Soit $(O, \vec{i}, \vec{j})$ un R.O.N.D., et $M$ un point du plan distinct de l'origine $O$ du repère. Un \emph{couple de coordonnées polaires} du point $M$ est un couple de réels $(r, \theta)$ tel que $\overrightarrow{O M}=r \vec{u}(\theta)$, où $u(\vec{\theta})$ est le premier vecteur de la base du repère polaire associé à $\theta$. Un tel couple est unique si $M \neq O$ et si on impose de plus la condition $r>0$ (l'angle $\theta$ est alors unique à $2 \pi$ près). [/latex]

Q: [latex] Produit scalaire de deux vecteurs[/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls du plan, le \emph{produit scalaire} de ces deux vecteurs, noté $\vecteur{u}. \vecteur{v}$ est le réel
    \[\vecteur{u}.\vecteur{v}=\absd{\vecteur{u}}\absd{\vecteur{v}}\cos(\vecteur{u},\vecteur{v}).\]\\
    Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire est nul. [/latex]

Q: [latex] Inégalité de Cauchy-Schwarz[/latex]
A: [latex] Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs de $\vec{P}$
    \[\abs{\vecteur{u}. \vecteur{v}}\leq \absd{\vecteur{u}}\absd{\vecteur{v}}.\] [/latex]

Q: [latex] Produit scalaire dans un repère orthonormé [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u_1}\begin{pmatrix}
        x_1\\ y_1\end{pmatrix}$ et $\vecteur{u_2}\begin{pmatrix}
            x_2\\y_2
        \end{pmatrix} $, donnés dans un \textbf{R.O.N}. Alors $\vecteur{u}_1.\vecteur{u}_2=x_1x_2+y_1y_2$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de l'orthogonalité [/latex]
A: [latex] Deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vecteur{u}. \vecteur{v}=0$. [/latex]

Q: [latex] Propriétés du produit scalaire [/latex]
A: [latex] Le produit scalaire est
    \begin{itemize}
        \item bilinéaire : $\forall \vecteur{u}, \vecteur{v}$, $\vecteur{w}\in \vecteur{P}$, $\forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}$, $\vec{u}.(\lambda\vec{v}+\mu\vec{w})=\lambda \vec{u}.\vec{v}+\mu \vec{u}.\vec{w}$ et la même chose dans l'autre sens.
        \item symétrique : $\forall \vecteur{u}, \vecteur{v}\in \vecteur{P}$, $\vec{v}.\vec{u}=\vec{u}.\vec{v}$
        \item défini positif : $\forall \vecteur{u}\in \vecteur{P}$, $\vecteur{u}. \vecteur{u}\geq 0$ et $\vecteur{u}. \vecteur{u}=0 \iff \vecteur{u}=\vecteur{0}$.
    \end{itemize}
    [/latex]

Q: [latex]Identité remarquable[/latex]
A: [latex] Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs de $\vec{P}$
    \[\absd{\vecteur{u}+\vecteur{v}}^2=\absd{\vecteur{u}}^2+\absd{\vecteur{v}}^2+2\vecteur{u}. \vecteur{v}\] [/latex]

Q: [latex] Formule de polarisation [/latex]
A: [latex] \[\vecteur{u}.\vecteur{v}=\dfrac{1}{4}\left(\absd{\vecteur{u}+\vecteur{v}}^2-\absd{\vecteur{u}-\vecteur{v}}^2\right)\][/latex]

Q: [latex] Coordonnées d'un vecteur dans une B.O.N. [/latex]
A: [latex] Soient $(\vec{i},\vec{j})$ une \textbf{B.O.N.} et $\vec{u}\in\vec{P}$.
Alors les coordonnées de $\vec{u}$ dans $(O,\vec{i},\vec{j})$ sont $\begin{pmatrix}\vec{u}.\vec{i}\\ \vec{u}.\vec{j}\end{pmatrix}$. [/latex]

Q: [latex] Produit scalaire et projeté orthogonal d'un vecteur [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls et $\vecteur{P_{\vecteur{v}}(\vecteur{u}})$ le projeté orthogonal de $\vecteur{u}$ sur un axe dirigé par $\vecteur{v}$. Alors $\vecteur{u}\cdot \vecteur{v}=\vecteur{P_{\vecteur{v}}(\vecteur{u}})\cdot \vecteur{v}$. [/latex]

Q: [latex] Coordonnées du projeté orthogonal d'un vecteur [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls tels que $\absd{\vecteur{v}}=1$. On note $\vecteur{P_{\vecteur{v}}(\vecteur{u}})$ le projeté orthogonal de $\vecteur{u}$ sur un axe dirigé par $\vecteur{v}$. Alors \[\vecteur{P_{\vecteur{v}}(\vecteur{u}})=(\vecteur{u}.\vecteur{v})\vecteur{v}.\] [/latex]

Q: [latex] Interprétation géométrique du produit scalaire [/latex]
A: [latex] Si $\vecteur{AB}=\vecteur{u}$ et $\vecteur{AC}=\vecteur{v}$. On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, on peut écrire $\vecteur{u}.\vecteur{v}=\overline{AB}\overline{AH}$ (mesure algébrique). C'est le produit de $\absd{\vecteur{u}}$ par la longueur algébrique du projeté orthogonal de $\vecteur{v}$ sur $\vecteur{u}$. [/latex]

Q: [latex] Produit mixte/déterminant de deux vecteurs [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls du plan, on appelle \emph{produit mixte} (ou déterminant) de ces deux vecteurs, le réel \[[\vecteur{u},\vecteur{v}]=\absd{\vecteur{u}}\absd{\vecteur{v}}\sin(\vec{u},\vec{v})\] Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit mixte est nul. [/latex]

Q: [latex] Produit mixte dans une base orthonomée directe [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u_1}\begin{pmatrix}
    x_1\\ y_1
\end{pmatrix}$ et $\vecteur{u_2}\begin{pmatrix}
    x_2\\ y_2
\end{pmatrix}$ donnés dans une \textbf{B.O.N.D.}. Alors $[\vecteur{u_1},\vecteur{u_2}]=x_1y_2-x_2y_1$.
    [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de la colinéarité[/latex]
A: [latex] Deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $[\vecteur{u},\vecteur{v}]=0$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de l'alignement [/latex]
A: [latex] Soient $A$, $B$, $C$ trois points de $P$. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :
\begin{enumerate}
    \item $A$, $B$ et $C$ sont alignés
    \item $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires
    \item $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=0$
\end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Propriétés du produit mixte[/latex]
A: [latex] Le produit mixte est
    \begin{itemize}
        \item bilinéaire
        \item antisymétrique : $\forall \vecteur{u},\vecteur{v}\in \vecteur{P}$, $[\vecteur{u},\vecteur{v}]=-[\vecteur{v},\vecteur{u}]$
        \item alterné : $\forall u\in \vecteur{P}$, $[\vecteur{u},\vecteur{u}]=0$
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Interprétation géométrique du produit mixte[/latex]
A: [latex] Si $\vecteur{AB}=\vecteur{u}$ et $\vecteur{AC}=\vecteur{v}$. On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, on peut écrire $[\vecteur{u},\vecteur{v}]=\pm AB\times CH$. Cela représente l'aire orientée du parallélogramme construit sur les vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de l'orientation dans une B.O.N.[/latex]
A: [latex] Soit $(\vec{u}, \vec{v})$ une base orthonormée de $\vec{P}$ orienté.
\begin{itemize}
    \item si $[\vec{u}, \vec{v}]=1$, alors $(\vec{u}, \vec{v})$ est une base directe.
    \item si $[\vec{u}, \vec{v}]=-1$, alors $(\vec{u}, \vec{v})$ est une base indirecte
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Droite affine du plan passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ [/latex]
A: [latex] Soient un vecteur $\vecteur{u}$ non nul et d'un point $A\in \mathcal{P}$
    On appelle \emph{droite affine du plan passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$},l'ensemble
    \[\mathcal{D}=\{A+\lambda\vecteur{u}| \lambda\in \R\}=\{M\in \mathcal{P}| [\vecteur{u}, \vecteur{AM}]=0]\}\] [/latex]

Q: [latex] Vecteur directeur d'une droite [/latex]
A: [latex] Un \emph{vecteur directeur} d'une droite $\mathcal{D}$ du plan est un vecteur non nul, colinéaire à tout vecteur de la forme $\vecteur{AB}$, où $A$ et $B$ sont deux points de $\vecteur{D}$. [/latex]

Q: [latex] Droite passant par $A$ et $B$[/latex]
A: [latex] Soient $A$ et $B$ deux points distincts de $\mathcal{P}$. On appelle \emph{droite passant par $A$ et $B$} la droite passant par $A$, de vecteur directeur $\vecteur{AB}$, c'est à dire \[\{A+\lambda \vecteur{AB}| \lambda\in \R\}.\] [/latex]

Q: [latex] Droite passant par $A$, de vecteur normal $\vecteur{n}$[/latex]
A: [latex] Soient $A\in \mathcal{P}$ et $\vecteur{n}\in \vecteur{P}$ non nul. On appelle \emph{droite passant par $A$, de vecteur normal $\vecteur{n}$} l'ensemble \[\{M\in \mathcal{P} | \vecteur{AM}.\vecteur{n}=0\}.\]\\ [/latex]

Q: [latex] Vecteur normal [/latex]
A: [latex] Un \emph{vecteur normal} à la droite $\vecteur{D}$ est un vecteur non nul, orthogonal à tout vecteur directeur de la droite $\vecteur{D}$/ à tout vecteur de la forme $\vecteur{AB}$, où $A$ et $B$ sont deux points de $\vecteur{D}$. [/latex]

Q: [latex] Représentation paramétrique d'une droite [/latex]
A: [latex] Soit $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$ un repère orthonormé direct du plan $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ une droite affine passant par $A(x_A,y_A)$ et dirigée par $\vec{u}(x_u,y_u)$.
Alors \[\mathcal{D}=\{(x_A+\lambda x_u, y_A+\lambda y_u)|\lambda\in \R\}\]
On dit que ce système est \emph{une représentation paramétrique} de la droite $\mathcal{D}$. On note  $Vect(\vecteur{u})=\{\lambda \vecteur{u}| \lambda \in \R\}$, ainsi, $\mathcal{D}=A+Vect(\vecteur{u})$. C'est l'ensemble de tous les points obtenus en translatant $A$ par un multiple du vecteur $\vecteur{u}$.
\\
Réciproquement, l'ensemble des points $M(x,y)$ tels que $\exists \lambda\in\R, \left\lbrace \begin{array}{rcl}
        x & = & a+\lambda \alpha \\
        y & = & b+\lambda \beta
    \end{array}\right.$ est la droite passant par $A(a,b)$ et dirigée par $\vec{u}(\alpha,\beta)$ [/latex]

Q: [latex] Equation cartésienne d'une droite [/latex]
A: [latex] Soit $(a,b,c)\in\R^3$ avec $(a,b)\neq(0,0)$. \\ L'ensemble des solutions de l'équation $ax+by=c$ est une droite $\mathcal{D}$ du plan. L'équation $ax+by=c$ est appelée \emph{équation cartésienne} de $\mathcal{D}$.
    Réciproquement, pour toute droite affine $D$ de $P$, il existe un tel triplet, unique à un coefficient multiplicatif près, tel que
\[\mathcal{D}=\left\lbrace M(x,y)| ax+by=c \right\rbrace\] [/latex]

Q: [latex] Droites parallèles[/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites de $\mathcal{P}$. On dit que $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont \emph{parallèles} et on note $\mathcal{D}_1 \sslash \mathcal{D}_2$ lorsqu'elles possèdent des vecteurs directeurs colinéaires. [/latex]

Q: [latex] Droites perpendiculaires [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites de $P$.
On dit que $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont \emph{perpendiculaires} et on note $\mathcal{D}_1 \perp \mathcal{D}_2$ lorsqu'elles possèdent des vecteurs directeurs orthogonaux. On note $\mathcal{D}_1 \bot \mathcal{D}_2$. [/latex]

Q: [latex] Droites concourantes [/latex]
A: [latex]
On dit que $\mathcal{D}_1$, $\mathcal{D}_2$ et $\mathcal{D}_3$ sont \emph{concourantes} lorsque $\mathcal{D}_1 \cap \mathcal{D}_2 \cap \mathcal{D}_3 \neq \emptyset$. [/latex]

Q: [latex] Distance d'un point à une droite [/latex]
A: [latex] Soient $A\in \mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ une droite.
On définit la \emph{distance entre $A$ et $\mathcal{D}$}, notée $d(A,\mathcal{D})$ par \[d(A,\mathcal{D})=\inf \{ \absd{\vecteur{MA}}| M\in \mathcal{D}    \}.\] [/latex]

Q: [latex] Coordinnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}$ une droite et $A\in \mathcal{P}$. Soient $B\in \mathcal{D}$ et $\vecteur{u}$ un vecteur directeur unitaire de $\mathcal{D}$. Alors, le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{D}$, noté $p_{\mathcal{D}}(A)$, vérifie
    \[p_{\mathcal{D}}(A)=B+(\vecteur{BA}.\vecteur{u})\vecteur{u}.\] [/latex]

Q: [latex] Calcul de la distance d'un point à une droite [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}$ une droite du plan et $A\in \mathcal{P}$ un point, Alors
    \[d(A,\mathcal{D})=\absd{\vecteur{A p_{\mathcal{D}}(A)}}\]
    En particulier, si $B\in \mathcal{D}$ et si $\vecteur{n}$ est un vecteur normal et \textbf{unitaire} de $\mathcal{D}$, alors \[d(A,\mathcal{D})=\abs{\vecteur{AB}.\vecteur{n}}\]
    Si $\vecteur{u}$ est un vecteur directeur et \textbf{unitaire} de $\mathcal{D}$, alors \[d(A,\mathcal{D})=\abs{[\vecteur{AB},\vecteur{u}]}\]
    % de vecteur normal $\vecteur{n}$ et vecteur directeur $\vecteur{u}$, $M. Alors on a \[d(M,\mathcal{D})=\absd{\vecteur{M p_{\mathcal{D}}(M)}}=\dfrac{\abs{\vecteur{AM}.\vecteur{n}}}{\absd{\vecteur{n}}}=\dfrac{\abs{[\vecteur{AM},\vecteur{u}]}}{\absd{\vecteur{u}}}.\]
    Le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{D}$ est le point de la droite qui est le plus proche de $A$. [/latex]

Q: [latex]Cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$ [/latex]
A: [latex] Soient $\Omega\in \mathcal{P}$ et $R\geq 0$. On appelle \emph{cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$} l'ensemble \[\mathcal{C}(\Omega,R)=\{M\in \mathcal{P} | \Omega M=R\}.\] [/latex]

Q: [latex] Cercle de diamètre $[AB]$[/latex]
A: [latex] Soient $A,B\in \mathcal{P}$. L'ensemble \[\{M\in \mathcal{P}| \vecteur{AM}.\vecteur{BM}=0\}\] est un cercle. C'est le \emph{cercle de diamètre $[AB]$}. [/latex]

Q: [latex] Equation cartésienne d'un cercle[/latex]
A: [latex] Soient $\Omega\in \mathcal{P}$ et $R\geq 0$. Les points du cercle $\mathcal{C}(\Omega, R)$ vérifiebt l'équation, appelée \emph{équation cartésienne du cercle} $(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2=R^2$. Réciproquement, tout équation de la forme $x^2+y^2-2ax-2by-c=0$ avec $a^2+b^2+c\geq 0$ est une équation de cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $R=\sqrt{a^2+b^2+c}$. [/latex]

Q: [latex] Représentation paramétrique d'un cercle [/latex]
A: [latex] Le cercle de centre $\Omega(x_{\Omega}, y_{\Omega})$ et de rayon $R$ peut être décrit dans un repère orthonormé par la \emph{représentation paramétrique} $\begin{cases}
        x=x_{\Omega}+R\cos(t)\\
        y=y_{\Omega}+R\sin(t)
    \end{cases}$ où $t\in ]-\pi, \pi]$. [/latex]

Q: [latex] Intersection d'une droite et d'un cercle [/latex]
A: [latex] [À savoir retrouver avec un dessin !]
Soient $\mathcal{D}$ une droite du plan, et $\mathcal{C}$ le cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$. Alors :
\begin{itemize}
    \item si $d(\Omega,\mathcal{D})>R$, $\mathcal{C}\cap \mathcal{D}=\emptyset$ ;
    \item si $d(\Omega,\mathcal{D})=R$, $\mathcal{C}\cap \mathcal{D}$ est réduit à un point : on dit que $\mathcal{D}$ est \emph{tangente} à $\mathcal{C}$ en ce point
    \item si $d(\Omega,\mathcal{D})<R$, $\mathcal{C}$ et $ \mathcal{D}$ ont deux points d'intersection distincts.
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Intersection de deux cercles [/latex]
A: [latex] [À savoir retrouver avec un dessin !]
Soient $\mathcal{C}_1=C(\Omega_1,R_1)$ et $\mathcal{C}_2=C(\Omega_2,R_2)$ deux cercles du plan. Alors :
\begin{itemize}
    \item si $\Omega_1\Omega_2>R_1+R_2$, $\mathcal{C}_1\cap \mathcal{C}_2=\emptyset$ ;
    \item si $\Omega_1\Omega_2=R_1+R_2$, $\mathcal{C}_1\cap \mathcal{C}_2$ est réduit à un point et on dit que les cercles sont \emph{tangents extérieurement} ;
    \item si $R_1+R_2>\Omega_1\Omega_2>|R_1-R_2|$, $\mathcal{C}_1\cap \mathcal{C}_2$ est un ensemble de deux points symétriques l'un de l'autre par rapport à $[\Omega_1\Omega_2]$ ;
    \item si $\Omega_1\Omega_2=|R_1-R_2|\neq0$, $\mathcal{C}_1\cap \mathcal{C}_2$ est réduit à un point et on dit que les cercles sont \emph{tangents intérieurement} ;
    \item si $\Omega_1\Omega_2=|R_1-R_2|=0$, les deux cercles sont confondus et $\mathcal{C}_1\cap \mathcal{C}_2=\mathcal{C}_1=\mathcal{C}_2$ ;
    \item si $\Omega_1\Omega_2<|R_1-R_2|\neq0$, $\mathcal{C}_1\cap \mathcal{C}_2=\emptyset$.
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex] $A=B \iff $[/latex]
A: [latex] $\vecteur{AB}=\vecteur{0}$[/latex]