Title: Mathématiques-PTSI / Denombrement

Q: [latex] Ensemble fini [/latex]
A: [latex] On dit qu'un ensemble $E$ est \emph{fini} si, et seulement, si, $E$ et vide ou il existe un entier $n\in \N^*$, tel que $E$ soit en bijection avec $\llbracket 1, n\rrbracket$. Dans le cas contraire, on dit que $E$ est \emph{infini}. [/latex]

Q: [latex] Cardinal d'un ensemble fini[/latex]
A: [latex] On appelle \emph{cardinal} de $E$, noté $\Card(E)$, $\#E$ ou $\abs{E}$, l'unique entier $n$ tel que $E$ soit en bijection avec $\llbracket 1, n\rrbracket$. Par convention $\Card(\emptyset)=0$. [/latex]

Q: [latex] Si $F$ est en bijection avec un ensemble fini $E$, alors ... [/latex]
A: [latex] $F$ est aussi fini et $\Card(E)=\Card(F)$[/latex]

Q: [latex] Si $F\subset E$ et $E$ est fini, alors ... [/latex]
A: [latex] $F$ est fini et $\Card(F)\leq \Card(E)$. De plus, $\Card(F)=\Card(E)$ si et seulement si $F=E$. [/latex]

Q: [latex] Soit $f:F\to G$.
Si $G$ est fini, $f$ injective, alors ...
 [/latex]
A: [latex] $F$ est fini également et $\Card(F)\leq\Card(G)$ [/latex]

Q: [latex] Soit $f:F\to G$.
    Si $F$ est fini et $f$ surjective, alors ...
[/latex]
A: [latex] $G$ est fini également et $\Card(F)\geq \Card(G)$.[/latex]

Q: [latex] Soit $f:F\to G$.
   Si $F$ et $G$ sont finis et $\Card(F)=\Card(G)$ alors ...
[/latex]
A: [latex] $f$ injective $\iff$ $f$ surjective $\iff$ $f$ bijective.[/latex]

Q: [latex] Principe des tiroirs[/latex]
A: [latex] Soit $m<n$.
    Il est impossible de ranger $n$ paires de chaussettes dans $m$ tiroirs dans en mettre au moins deux dans le même tiroir. [/latex]

Q: [latex] Union disjointe [/latex]
A: [latex] Lorsque deux ensemble $A$ et $B$ sont disjoints ($A\cap B=\emptyset$), la réunion de $A$ et $B$ est appelée \emph{union disjointe} de $A$ et $B$ et notée $A\sqcup B$. [/latex]

Q: [latex] $\Card(A\sqcup B)=$ [/latex]
A: [latex] $\Card(A)+\Card(B)$[/latex]

Q: [latex] si $B\subset A$, $\Card(A\setminus B)=$ [/latex]
A: [latex] $\Card(A)-\Card(B)$[/latex]

Q: [latex] $\Card(A^C)=$ [/latex]
A: [latex] $\Card(E)-\Card(A)$ [/latex]

Q: [latex]         $\Card(A\cup B)=$ [/latex]
A: [latex] $\Card(A)+\Card(B)-\Card(A\cap B) $ [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis. Alors $E\times F$ est fini et $\Card(E\times F)=$ [/latex]
A: [latex] $\Card(E)\times \Card(F)$ [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux ensembles finis. Alors $F^E$ est fini et $\Card(F^E)=$[/latex]
A: [latex] $\Card(F)^{\Card(E)} $[/latex]

Q: [latex] Si $E$ est un ensemble fini, alors l'ensemble des parties de $E$ est fini et $\Card(\mathcal{P}(E))=$[/latex]
A: [latex] $2^{\Card(E)}$[/latex]

Q: [latex] $p$-liste d'éléments d'un ensemble $E$ [/latex]
A: [latex] Soient $E$ un ensemble fini et $p\in \N$. On appelle \emph{$p$-liste} d'éléments de $E$, tout $p$-uplet $(e_1,\cdots, e_p)$ d'éléments de $E$. [/latex]

Q: [latex] Le nombre de $p$-listes d'un ensemble de cardinal $n$ [/latex]
A: [latex]  $n^p$[/latex]

Q: [latex] Pour une liste : répétitions ? ordre ?  [/latex]
A: [latex]Les répétitions sont possibles. L’ordre des éléments est important.  [/latex]

Q: [latex] Les répétitions sont possibles. L’ordre des éléments est important. Modélisation ? [/latex]
A: [latex] Avec une liste [/latex]

Q: [latex] Arrangement de $p$ éléments de $E$ [/latex]
A: [latex] Soient $E$ un ensemble fini et $p\in \N$. On appelle \emph{arrangement} de $p$ éléments de $E$, une $p$-liste d'éléments distincts de $E$. [/latex]

Q: [latex] L'ordre des éléments est toujours important, mais il ne peut pas y avoir de répétitions. Modélisation ?  [/latex]
A: [latex] Arrangement [/latex]

Q: [latex]Arrangement : répétition ? ordre ? [/latex]
A: [latex] L'ordre des éléments est toujours important, mais il ne peut pas y avoir de répétitions. [/latex]

Q: [latex] Le nombre d'arrangements de $p$ éléments dans un ensemble à $n$ éléments [/latex]
A: [latex] $\dfrac{n!}{(n-p)!}$[/latex]

Q: [latex] Permutation [/latex]
A: [latex] Arrangement de $n$ éléments d'un ensemble à $n$ éléments. [/latex]

Q: [latex] Nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments[/latex]
A: [latex] $n!$[/latex]

Q: [latex] Combinaison [/latex]
A: [latex] Soit $E$ un ensemble fini et $p\in \N$. On appelle \emph{$p$-combinaison} de $E$ toute partie de $E$ de cardinal $p$.[/latex]

Q: [latex] Combinaison : répétition ? ordre ? [/latex]
A: [latex] Il n'y a pas de répétitions possibles, l'ordre n'est pas important. [/latex]

Q: [latex] Il n'y a pas de répétitions possibles, l'ordre n'est pas important. Modélisation ?[/latex]
A: [latex] Combinaison [/latex]

Q: [latex] Nombre de $p$-combinaisons d'un ensemble à $n$ éléments [/latex]
A: [latex] $\binom{n}{p}$[/latex]