Title: Mathématiques-PTSI / Espaces vectoriels de dimension finie

Q: [latex] Espace vectoriel de dimension finie [/latex]
A: [latex] On dit que $E$ est de \emph{dimension finie} lorsque $E$ possède une famille génératrice finie. [/latex]

Q: [latex] Soit $\mathscr{L}$ une famille libre et $\mathscr{G}$ une famille génératrice finie d'un e.v. Que dire de leur cardinaux ?[/latex]
A: [latex] $Card(\mathscr{L})\leq Card(\mathscr{G})$ [/latex]

Q: [latex] Théorème de la base incomplète [/latex]
A: [latex] Soient $\mathscr{L}$ et $\mathscr{G}$ deux ensembles finis de vecteurs de $E$ vérifiant
    \begin{enumerate}
        %\item $\mathscr{L}\subset \mathscr{G}$.
        \item $\mathscr{L}$ est une famille libre de $E$;
        \item $\mathscr{G}$ est une famille génératrice de $E$.
    \end{enumerate}
    Alors il existe un ensemble $\mathscr{B}$ vérifiant $\mathscr{L}\subset \mathscr{B}\subset \mathscr{L}\cup \mathscr{G}$, tel que les vecteurs de $\mathscr{B}$ forment une base de $E$. [/latex]

Q: [latex] Construire une base à partir d'une famille libre et d'une famille génératrice[/latex]
A: [latex] On part de la famille libre, on teste un à un les vecteurs de $\mathscr{G}$ et on les rajoute ou non pour avoir toujours une famille libre. [/latex]

Q: [latex] Théorème de la base extraite [/latex]
A: [latex] Dans un espace vectoriel de dimension finie, on peut extraire une base de toute famille génératrice. [/latex]

Q: [latex] Dimension d'un e.v. [/latex]
A: [latex] Soit $E$ un e.v. de dimension finie.
    On appelle \emph{dimension} du $\K$-e.v. $E$, et on note $dim_{\K}E$ le nombre d'éléments de chacune des bases de $E$. \\On notera parfois $dim_{\K}E<+\infty$ l'assertion "le $\K$-e.v. $E$ est de dimension finie". \\ En particulier, toutes les bases de $E$ ont $dim_{\K}E$ éléments.[/latex]

Q: [latex] Dimension de $\R^n$[/latex]
A: [latex] $n$ [/latex]

Q: [latex] Dimension de $\C^n$[/latex]
A: [latex] $n$ en tant que $C$-ev, $2n$ en tant que $\R$ ev.[/latex]

Q: [latex] Dimension de $\R_n[X]$ [/latex]
A: [latex] $n+1$[/latex]

Q: [latex] $\K[X]$ est-il de dimension finie ? [/latex]
A: [latex] Non ! On ne peut pas trouver de famille génératrice finie.[/latex]

Q: [latex] Dimension de $\mathscr{M}_{n,p}(\R)$[/latex]
A: [latex] $np$[/latex]

Q: [latex] Dimension de $\mathscr{M}_{n,p}(\C)$[/latex]
A: [latex] $np$ en tant que $\C$-ev, $2np$ en tant que $\R$-ev.[/latex]

Q: [latex] Dimension de $\{0_E\}$[/latex]
A: [latex] $0$ [/latex]

Q: [latex] Dimension de l’espace des solutions d’une équation différentielle linéaire homogène d’ordre 1[/latex]
A: [latex] $1$ [/latex]

Q: [latex] Dimension de l’espace des
        solutions d’une équation différentielle linéaire homogène
        d’ordre 2 à coefficients constants[/latex]
A: [latex] $2$ [/latex]

Q: [latex] Dimension de l’espace des suites
        vérifiant une relation de récurrence linéaire homogène
        d’ordre 2 à coefficients constants[/latex]
A: [latex] $2$ [/latex]

Q: [latex] Soit $E$ un e.v. de dimension finie. Que dire du cardinal d'une famille libre de $E$ ? [/latex]
A: [latex] $\leq dim_{\K}E$[/latex]

Q: [latex] Soit $E$ un e.v. de dimension finie. Que dire du cardinal d'une famille génératrice de $E$ ? [/latex]
A: [latex] $\geq dim_{\K}E$[/latex]

Q: [latex] Caractérisation des bases en dimension finie [/latex]
A: [latex] Soit $E$ un e.v. de dimension finie.
    Soit $F$ une famille de vecteurs de $E$. \\
    $F$ est une base, si, et seulement si, $F$ est génératrice et constituée d'exactement $dim_{\K}E$, si, et seulement si, $F$ est libre et constituée d'exactement $dim_{\K}E$. [/latex]

Q: [latex] Que dire de deux e.v. de même dimension ? [/latex]
A: [latex] Ils sont isomorphes entre eux et isomorphes à $\K^n$. Concrêtement, on peut les identifier à $\K^n$.[/latex]

Q: [latex] Extraire une base d'une famille génératrice en dimension finie [/latex]
A: [latex] On utilise la famille vide, qui est libre, et on la complète en une base à partir de la famille génératrice.[/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie. $E\times F$ est-il de dimension finie ? Si oui laquelle[/latex]
A: [latex]$E\times F$ est de dimension finie et
    \[dim_{\K}(E\times F)=  dim_{\K}(E)+dim_{\K}(F). \]
    Plus précisément, on note $n=dim(E)$, $p=dim(F)$ et $(e_1,\cdots e_n)$ une base de $E$, $(f_1,\cdots, f_p)$ une base de $F$.\\
    Alors $b_i=\begin{cases}
        (e_i,0_F) & i\leq n\\
        (0_E, f_{i-n})& i> n
    \end{cases}$ est une base de $E\times F$. [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie. Que dire de la dimension de $\mathscr{L}(E,F)$ ?  [/latex]
A: [latex] $\mathscr{L}(E,F)$ est un $\K$-e.v. de dimension finie et $dim (\mathscr{L}(E,F))=dim(E)\times dim(F)$. [/latex]

Q: [latex] Dimension d'un sous-espace vectoriel[/latex]
A: [latex] Soit $E$ un e.v. de dimension finie.
    Soit $F$ un s.e.v. de $E$. Alors $F$ est de dimension finie et $dim(F)\leq dim(E)$. \\De plus, $dim(F)=dim(E)$, si, et seulement si, $F=E$. [/latex]

Q: [latex] Dimension de l'ensemble des matrices triangulaires supérieures de taille $n$ [/latex]
A: [latex] $n(n+1)/2$[/latex]

Q: [latex] Dimension de l'ensemble des matrices diagonales de taille $n$ [/latex]
A: [latex] $n$ [/latex]

Q: [latex] Dimension de l'ensemble des matrices symétriques de taille $n$[/latex]
A: [latex] $n(n+1)/2$[/latex]

Q: [latex] Dimension de l'ensemble des matrices antisymétriques de taille $n$[/latex]
A: [latex] $n(n-1)/2$[/latex]

Q: [latex] Comment montrer une égalité entre deux sous-espaces vectoriels de dimension finie ?[/latex]
A: [latex] Il suffit de montrer une inclusion et qu'ils ont la même dimension[/latex]

Q: [latex] Rang d'une famille de vecteurs [/latex]
A: [latex] Soit $E$ un $\K$-e.v. (non nécessairement de dimension finie). Soient $n\in \N$ et $(x_1,\cdots x_n)$ une famille de $n$ vecteurs. \\On appelle \emph{rang de la famille} $(x_1,\cdots, x_n)$ et on note $rg(x_1,\cdots, x_n)$ la dimension du s.e.v. qu'ils engendrent :
    \[rg(x_1,\cdots, x_n)=dim (\Vect(x_1,\cdots, x_n)).\] [/latex]

Q: [latex] Soit $E$ un $\K$-e.v. et $F$ un s.e.v. de $E$. Alors $F$ admet-il au moins un supplémentaire dans $E$ ?[/latex]
A: [latex] Oui ![/latex]

Q: [latex] Formule de Grassmann [/latex]
A: [latex] Soit $E$ un $\K$-e.v. Soient $F$ et $G$ deux s.e.v. de dimension finie de $E$. Alors $F+G$ est de dimension finie et
    \[dim(F+G)=dim(F)+dim(G)-dim(F\cap G)\]
    En particulier, $dim(F+G)\leq dim(F)+dim(G)$. L'égalité a lieu si, et seulement si, $F$ et $G$ sont en somme directe.[/latex]

Q: [latex] Caractérisation de deux espaces supplémentaires en dimension finie [/latex]
A: [latex] Soit $E$ un $\K$-e.v. et soient $F$ et $G$ deux s.e.v. de dimension finie. Alors si $F$ et $G$ sont supplémentaires, les trois propositions suivantes sont vraies :
    \begin{enumerate}
        \item $F\cap G=\{0\}$
        \item $F+G=E$
        \item $dim(E)<+\infty$ et $dim(F)+dim(G)=dim(E)$
    \end{enumerate}
    Réciproquement, il suffit que \textbf{deux} de ces propositions soient vraies pour que $F$ et $G$ soient supplémentaires.[/latex]

Q: [latex] Soit $E$ un $\K$-e.v. de dimension finie. Et $F$ un s.e.v. de $E$. Soit $G$ un supplémentaire de $F$ de $E$. Quelle est sa dimension ?  [/latex]
A: [latex] $dim(E)-dim(F)$ [/latex]

Q: [latex] Soit $M\in \mathscr{M}_{n,p}(\K)$. Quelle est l'application linéaire canoniquement associée à $M$ ? [/latex]
A: [latex]  On appelle \emph{application linéaire canoniquement associée à $M$}, l'application \[\fonction{u}{\mathscr{M}_{p,1}(\K)}{\mathscr{M}_{n,1}(\K)}{X}{MX}\] ou, en identifiant $\K^p$ avec $\mathscr{M}_{p,1}(\K)$ et $\K^n$ avec $\mathscr{M}_{n,1}(\K)$
    \[\fonction{u}{\K^p}{\K^n}{(x_1, \cdots, x_p)}{M\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_p \end{pmatrix}}.\]
    Cette application est bien une application linéaire[/latex]

Q: [latex] Noyau d'une matrice $M$[/latex]
A: [latex] On appelle \emph{noyau} de $M$ et on note $\Ker(M)$ le noyau  de l'application linéaire canoniquement associée à $M$.[/latex]

Q: [latex] Image d'une matrice $M$ [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{image} de $M$ et on note $\Imf(M)$ l'image de l'application linéaire canoniquement associée à $M$.[/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Soit $S$ un supplémentaire de $\Ker(u)$ dans $E$. Alors $u$ [...][/latex]
A: [latex] réalise un isomorphisme de $S$ sur $\Imf(u)$ [/latex]

Q: [latex] Théorème du rang [/latex]
A: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. avec $E$ de dimension finie et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors $\Imf(u)$ est de dimension finie et \[\dim E=\dim(\Imf(u))+\dim(\Ker(u)).\]
    La dimension de $\Imf(u)$ est appelée \emph{rang de l'application linéaire} $u$ et notée $rg(u)$. \\
    Si $(x_i)_{i\in I}$ est une famille finie génératrice de $E$, alors $rg(u)=\dim(\Vect(u(x_i), i\in I))=rg(x_i, i\in I)$.[/latex]

Q: [latex] Soient $E$ un $\K$-e.v. et $u\in \mathscr{GL}(E,F)$. Alors pour tout s.e.v. $F$ de $E$, si $F$ est de dimension finie, alors $u(F)$ [...] [/latex]
A: [latex] l'est également et $\dim(u(F))=dim(F)$ [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors $rg(u)[...]$. En particulier
    \begin{enumerate}
        \item si $dim(E)<dim(F)$, $u$ ne peut pas être [...]
        \item si $dim(E)>dim(F)$, $u$ ne peut pas être [...]
    \end{enumerate}
[/latex]
A: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors $rg(u)\leq \min(dim(E),dim(F))$. En particulier
    \begin{enumerate}
        \item si $dim(E)<dim(F)$, $u$ ne peut pas être surjective.
        \item si $dim(E)>dim(F)$, $u$ ne peut pas être injective.
    \end{enumerate}
[/latex]

Q: [latex] Caractérisation des isomorphismes en dimension finie [/latex]
A: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie. Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Si $u$ est un isomorphisme, on a les trois propriétés suivantes :
    \begin{enumerate}
        \item $u$ est injective
        \item $u$ est surjective
        \item $dim(E)=dim(F)$
    \end{enumerate}
    Réciproquement, il suffit que \textbf{deux} de ces trois propriétés soient vraies pour que $u$ soit un isomorphisme. [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux ev avec $E$ de dimension finie. Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors
    \begin{enumerate}
        \item si $v\in \mathscr{GL}(F)$, $rg(v\circ u )[...]$
        \item si $w\in \mathscr{GL}(E)$, $rg(u\circ w )[...]$
    \end{enumerate}[/latex]
A: [latex] Soient $E$ et $F$ deux ev avec $E$ de dimension finie. Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors
    \begin{enumerate}
        \item si $v\in \mathscr{GL}(F)$, $rg(v\circ u )=rg (u)$
        \item si $w\in \mathscr{GL}(E)$, $rg(u\circ w )=rg (u)$
    \end{enumerate}[/latex]

Q: [latex] On remarque que la famille $(x_i)_i$ est génératrice de $E$, si et seulement si, $E$ est de dimension finie et $rg(x_1,\cdots, x_n) [...]$. [/latex]
A: [latex]  $=dim(E)$[/latex]

Q: [latex] On remarque que la famille $(x_i)_i$ est [...], si et seulement si, $E$ est de dimension finie et $rg(x_1,\cdots, x_n)=dim(E)$. [/latex]
A: [latex] génératrice de $E$ [/latex]

Q: [latex] La famille $(x_i)_i$ est libre, si et seulement si, $rg(x_1,\cdots, x_n)[...]$. [/latex]
A: [latex]  $=Card(x_1,\cdots, x_n)$[/latex]

Q: [latex] La famille $(x_i)_i$ est [...], si et seulement si, $rg(x_1,\cdots, x_n)=Card(x_1,\cdots, x_n)$. [/latex]
A: [latex] libre[/latex]

Q: [latex] Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{B}$ une base de $E$.
 $u$ est [...] si, et seulement si, $u(\mathscr{B})$ est une famille libre de $F$.[/latex]
A: [latex] injective [/latex]

Q: [latex] Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{B}$ une base de $E$.
 $u$ est injective si, et seulement si, $u(\mathscr{B})$ est [...][/latex]
A: [latex] une famille libre de $F$. [/latex]

Q: [latex] Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{B}$ une base de $E$.
     $u$ est surjective si, et seulement si, $u(\mathscr{B})$ est [...]
        [/latex]
A: [latex] une famille génératrice de $F$.
        [/latex]

Q: [latex] Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{B}$ une base de $E$.
     $u$ est [...] si, et seulement si, $u(\mathscr{B})$ est une famille génératrice de $F$.
        [/latex]
A: [latex] surjective[/latex]

Q: [latex] Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{B}$ une base de $E$.
     $u$ est bijective si, et seulement si, $u(\mathscr{B})$ est [...]
    [/latex]
A: [latex]  une base de $F$.
    [/latex]

Q: [latex] Soit $u\in \mathscr{L}(E,F)$ et $\mathscr{B}$ une base de $E$.
     $u$ est [...] si, et seulement si, $u(\mathscr{B})$ est une base de $F$.
    [/latex]
A: [latex] bijective[/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors
 $u$ est surjective si, et seulement si, $rg(u)[...]$.
      [/latex]
A: [latex]$=dim(F)$.
      [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors
 $u$ est [...] si, et seulement si, $rg(u)=dim(F)$.
      [/latex]
A: [latex] surjective [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors
$u$ est injective si, et seulement si, $rg(u)[...]$.
     [/latex]
A: [latex] $rg(u)=dim(E)$.
     [/latex]

Q: [latex] Soient $E$ et $F$ deux $\K$-e.v. de dimension finie et $u\in \mathscr{L}(E,F)$. Alors
$u$ est [...] si, et seulement si, $rg(u)=dim(E)$.
     [/latex]
A: [latex] injective[/latex]