Title: Mathématiques-PTSI / Suites particulières

Q: [latex] Suite arithmétique [/latex]
A: [latex] Soient $\alpha$ et $r$ deux complexes. On appelle suite \emph{arithmétique} de premier terme $\alpha$ et de \emph{raison} $r$, la suite $u$ définie par $u_0=\alpha$ et $\forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1}=u_n+r$ [/latex]

Q: [latex] Terme général d'une suite arithmétique de raison $r$ [/latex]
A: [latex] $\forall n \in \mathbb{N}, \, u_n=u_0+nr$ [/latex]

Q: [latex] Somme des premiers termes d'une suite arithmétique de raison $r$ [/latex]
A: [latex] $\forall n \in \mathbb{N}, \, \sum_{k=0}^{n}u_k=(n+1)\dfrac{u_0+u_n}{2}$[/latex]

Q: [latex] Monotonie et limite d'une suite arithmétique de raison $r\in \mathbb{R}$ [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
        \item Si $r>0$, alors $u$ est strictement croissante et $u_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}+\infty$.
        \item Si $r=0$, $u$ est une suite constante de valeur $u_0$.
        \item Si $r<0$, alors $u$ est strictement décroissante et  $u_n\xrightarrow[n\to+\infty]{}-\infty$.
    \end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Suite géométrique [/latex]
A: [latex] Soient $\alpha$ et $r$ deux complexes. On appelle suite \emph{géométrique} de premier terme $\alpha$ et de \emph{raison} $q$, la suit $u$ définie par
$$\begin{cases}
 u_0=\alpha\\
 \forall n \in \mathbb{N},\, u_{n+1}=u_n\times q
 \end{cases}$$ [/latex]

Q: [latex] Terme général d'une suite géométrique de raison $r$ [/latex]
A: [latex]$ \forall n \in \mathbb{N}, \, u_n=u_0r^n$ [/latex]

Q: [latex] Somme des premiers termes d'une suite géométrique de raison $r$ [/latex]
A: [latex] \begin{itemize}
        \item Si $r\neq 1$
         \[\forall n \in \mathbb{N}, \, \sum_{k=0}^{n}u_k=u_0 \dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}.\]
         \item Si $r=1$
         \[\forall n \in \mathbb{N}, \, \sum_{k=0}^{n}u_k=(n+1)u_0 .\]
    \end{itemize}[/latex]

Q: [latex] Limite d'une suite géométrique de raison $r$ [/latex]
A: [latex] Si le premier terme est non nul. \begin{itemize}
        \item Si $r\leq -1$, alors la suite $u$ n'a pas de limite, ni finie, ni infinie.
        \item Si $r\in ]-1,1[$, alors la suite $u$ converge vers 0.
        \item Si $r=1$, alors la suite $u$ est constante de valeur $u_0$.
        \item Si $r>1$, alors la suite $u$ diverge vers $+\infty$ si $u_0>0$ et $-\infty$  si $u_0<0$.
    \end{itemize}[/latex]

Q: [latex] Suite arithmético-géométrique [/latex]
A: [latex] Une suite $u$ est dite \emph{arithmético-géométrique} s'il existe deux complexes $a$ et $b$ vérifiant :
    \[\forall n\in \mathbb{N}, \, u_{n+1}=au_n+b.\] [/latex]

Q: [latex] Suite récurrente linéaire double [/latex]
A: [latex] Toute suite vérifiant $\forall n \in \mathbb{N}, \, u_{n+2}=au_{n+1}+bu_n$  pour $a$ et $b$ des complexes. [/latex]

Q: [latex] Terme général d'une suite arithmético-géométrique dans le cas complexe[/latex]
A: [latex] On appelle \emph{équation caractéristique} l'équation
    \begin{equation}
        r^2-ar-b=0
    \end{equation}
\begin{itemize}
        \item Si elle admet deux solutions distinctes $r_1$ et $r_2$, les solutions sont les suites de la forme $(\lambda r_1^n+\mu r_2^n)_{n\in \mathbb{N}}$, où $\lambda$ et $\mu$ sont des complexes.
        \item Si elle admet une unique solution $r_0$, alors les solutions sont les suites de la forme $(\lambda r_0^n+\mu n r_0^n)_{n\in \mathbb{N}}$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des complexes.
    \end{itemize}
    Dans les deux cas, il existe une unique solution pour $u_0$ et $u_1$ fixés.
[/latex]

Q: [latex] Terme général d'une suite arithmético-géométrique dans le cas réel [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{équation caractéristique}
    \begin{equation}\label{eq_rec_caract_2}
        r^2-ar-b=0
    \end{equation}
\begin{itemize}
        \item Si elle admet deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, les solutions sont les suites de la forme $(\lambda r_1^n+\mu r_2^n)_{n\in \mathbb{N}}$, où $\lambda$ et $\mu$ sont des réels.
        \item Si elle admet une unique solution $r_0$, alors les solutions sont les suites de la forme $(\lambda r_0^n+\mu n r_0^n)_{n\in \mathbb{N}}$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des réels.
        \item Si elle admet deux solutions complexes conjuguées $re^{i\theta}$ et $re^{-i\theta}$ alors les solutions sont les suites de la forme $(r^n(\lambda \cos(n\theta)+\mu \sin(n\theta)))_n$ où $\lambda$ et $\mu$ sont des réels fixés.
    \end{itemize}
    Dans les deux cas, il existe une unique solution pour $u_0$ et $u_1$ fixés.
[/latex]