Title: Mathématiques-PTSI / Limite de fonction

Q: [latex] Soit $a\in \overline{D_f}$ et $\ell\in \overline{\mathbb{R}}$. On dit que \emph{$f$ admet $\ell$ pour limite en $a$ }[/latex]
A: [latex] $\forall V \in \mathcal{V}(\ell), \, \exists W\in \mathcal{V}(a), \, \forall x\in W\cap D_f, \, f(x)\in V. $ [/latex]

Q: [latex] $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell $ [/latex]
A: [latex] $\forall \eps >0, \, \exists \eta >0, \, \forall x\in D_f, \, \abs{x-a}\leq \eta \implies \abs{f(x)-\ell}\leq \eps$ [/latex]

Q: [latex] $f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}\ell$ [/latex]
A: [latex] $\forall \eps >0, \, \exists M \in \mathbb{R}, \, \forall x\in D_f, \, x\geq M \implies \abs{f(x)-\ell}\leq \eps$ [/latex]

Q: [latex] $f(x)\xrightarrow[x\to -\infty]{}\ell$ [/latex]
A: [latex] $\forall \eps >0, \, \exists M \in \mathbb{R}, \, \forall x\in D_f, \, x\leq M \implies \abs{f(x)-\ell}\leq \eps$ [/latex]

Q: [latex] $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}+\infty$ [/latex]
A: [latex] $\forall A\in \mathbb{R}, \, \exists \eta>0, \, \forall x\in D_f, \, \abs{x-a}\leq \eta \implies f(x)\geq A$ [/latex]

Q: [latex] $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}-\infty$[/latex]
A: [latex] $\forall A\in \mathbb{R}, \, \exists \eta>0, \, \forall x\in D_f, \, \abs{x-a}\leq \eta \implies f(x)\leq A$ [/latex]

Q: [latex] $f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}+\infty$[/latex]
A: [latex] $\forall A\in \mathbb{R}, \, \exists M\in \mathbb{R}, \, \forall x\in D_f, \, x\geq M \implies f(x)\geq A$ [/latex]

Q: [latex]$f(x)\xrightarrow[x\to +\infty]{}-\infty$ [/latex]
A: [latex] $\forall A\in \mathbb{R}, \, \exists M\in \mathbb{R}, \, \forall x\in D_f, \, x\geq M \implies f(x)\leq A$ [/latex]

Q: [latex]$f(x)\xrightarrow[x\to -\infty]{}-\infty$ [/latex]
A: [latex] $\forall A\in \mathbb{R}, \, \exists M\in \mathbb{R}, \, \forall x\in D_f, \, x\leq M \implies f(x)\leq A$[/latex]

Q: [latex]$f(x)\xrightarrow[x\to -\infty]{}+\infty$ [/latex]
A: [latex] $\forall A\in \mathbb{R}, \, \exists M\in \mathbb{R}, \, \forall x\in D_f, \, x\leq M \implies f(x)\geq A$ [/latex]

Q: [latex]     Si $a\in D_f$ et si $f$ admet une limite $\ell\in \R$ en $a$, alors
[/latex]
A: [latex] $f(a)=\ell$. [/latex]

Q: [latex] Soit $a\in \overline{D_f}$.
    Toute fonction possédant une limite \textbf{finie} en $a$...[/latex]
A: [latex]  est bornée au \textbf{voisinage} de $a$. [/latex]

Q: [latex] Si $f$ est définie au voisinage de $a$ à gauche (c'est à dire si $a\in \overline{D_f\cap ]-\infty,a[}$), on dit que \emph{$f$ admet $\ell$ pour limite à gauche en $a$} [/latex]
A: [latex] $f_{|D_f\cap ]-\infty,a[}$ admet $\ell$ pour limite en $a$. On note alors $f(x)\xrightarrow[x\to a^-]{}\ell$, $f(x)\xrightarrow[\substack{x\to a \\ x<a}]{}\ell$ ou $f\xrightarrow[a^-]{}\ell$.\\ \textbf{Si} elle existe, la limite à gauche est unique (puisque c'est une limite) et dans ce cas, elle est notée $\lim_{a^-}f$, $\lim_{x\to a^-}f(x)$ ou $\lim_{\substack{x\to a \\ x<a}}f(x)$. [/latex]

Q: [latex] Si $f$ est définie au voisinage de $a$ à gauche (c'est à dire si $a\in \overline{D_f\cap ]a,+\infty[}$), on dit que \emph{$f$ admet $\ell$ pour limite à droite en $a$} [/latex]
A: [latex] $f_{|D_f\cap ]a,+\infty[}$ admet $\ell$ pour limite en $a$. On note alors $f(x)\xrightarrow[x\to a^+]{}\ell$, $f(x)\xrightarrow[\substack{x\to a \\ x>a}]{}\ell$ ou $f\xrightarrow[a^+]{}\ell$.\\ \textbf{Si} elle existe, la limite à droite est unique (puisque c'est une limite) et dans ce cas, elle est notée $\lim_{a^+}f$, $\lim_{x\to a^+}f(x)$ ou $\lim_{\substack{x\to a \\ x>a}}f(x)$. [/latex]

Q: [latex] Lien entre limite en un point et limite à gauche et à droite.[/latex]
A: [latex] Soit $a$ un réel appartement à $D_f$, à $\overline{D_f\cap ]-\infty,a[}$ et à $\overline{D_f\cap ]a,+\infty[}$. Soit {\color{red}$\ell\in \mathbb{R}$}. $f\xrightarrow[a]{}\ell$ si, et seulement si, on a simultanément
    \begin{enumerate}
        \item $f\xrightarrow[a^-]{}\ell$
        \item $f\xrightarrow[a^+]{}\ell$
        \item $f(a)=\ell$
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Composition de limites [/latex]
A: [latex] Soient $f:I\to \mathbb{R}$ et $g:J\to \mathbb{R}$ deux applications vérifiant $f(I)\subset J$ et soit $a\in \overline{I}$, $b\in \overline{J}$ et $\ell \in \overline{R}$. \\
    Si $f\xrightarrow[a]{}b$ et $g\xrightarrow[b]{}\ell$, alors $g\circ f \xrightarrow[a]{}\ell$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation séquentielle des limites [/latex]
A: [latex] Soient $a\in \overline{D_f}$ et $\ell \in \overline{R}$. On a équivalence entre :
    \begin{enumerate}
        \item $f(x)\xrightarrow[x\to a]{}\ell$
        \item pour tout suite $(u_n)_n$ telle que $u_n\in I$, et $u_n\xrightarrow[n\to +\infty]{}a$, on a $f(u_n)\xrightarrow[n\to +\infty]{}\ell$.
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Soient $f$, $a\in \overline{D_f}$, et $(m,M,\ell)\in \mathbb{R}^3$. Supposons $f\xrightarrow[a]{}\ell$ et $m<\ell<M$. Que dire sur $f$ ?  [/latex]
A: [latex] Alors il existe un voisinage $V$ de $a$ tel que pour tout $x\in V\cap D_f$, on a $m<f(x)<M$. [/latex]

Q: [latex] Soient $f:I$, $a\in \overline{D_f}$, $\ell \in \mathbb{R}$ avec $f\xrightarrow[a]{}\ell$. Soit $(m,M)\in \mathbb{R}^2$. Si $M$ majore $f$ au voisinage de $a$, alors [/latex]
A: [latex] $\ell\leq M$. [/latex]

Q: [latex] Soient $f$, $a\in \overline{D_f}$, $\ell \in \mathbb{R}$ avec $f\xrightarrow[a]{}\ell$. Soit $(m,M)\in \mathbb{R}^2$.
   Si $m$ minore $f$ au voisinage de $a$, alors [/latex]
A: [latex]  $m\leq \ell$[/latex]

Q: [latex] Soient $f,g:I\to \mathbb{R}$, $a\in \overline{I}$, et $(\ell_1, \ell_2)\in \mathbb{R}^2$. \\
    Supposons $f\xrightarrow[a]{}\ell_1$, $g\xrightarrow[a]{}\ell_2$, et $f(x)\leq g(x)$ pour $x$ au voisinage de $a$. Alors ...[/latex]
A: [latex] $\ell_1\leq \ell_2$ [/latex]

Q: [latex] Théorème de minoration des fonctions [/latex]
A: [latex]Soient $f,g,h:I\to \mathbb{R}$ trois applications, $a\in \overline{I}$ et $\ell \in \mathbb{R}$. Supposons que $f\xrightarrow[a]{}+\infty$, et que pour $x$ au voisinage de $a$, $f(x)\leq g(x)$, alors $g$ admet une limite en $a$, et cette limite vaut $+\infty$.[/latex]

Q: [latex] Théorème de majoration des fonctions [/latex]
A: [latex] Soient $f,g,h:I\to \mathbb{R}$ trois applications, $a\in \overline{I}$ et $\ell \in \mathbb{R}$. Supposons que $h\xrightarrow[a]{}-\infty$, et que pour $x$ au voisinage de $a$, $g(x)\leq h(x)$, alors $g$ admet une limite en $a$, et cette limite vaut $-\infty$. [/latex]

Q: [latex] Théorème d'encadrement des fonctions [/latex]
A: [latex] Soient $f,g,h:I\to \mathbb{R}$ trois applications, $a\in \overline{I}$ et $\ell \in \mathbb{R}$. Supposons qu'on a $f\xrightarrow[a]{}\ell$, $h\xrightarrow[a]{}\ell$ et que pour $x$ au voisinage de $a$ on ait $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$. Alors $g$ admet une limite en $a$ et cette limite vaut $\ell$. [/latex]

Q: [latex] Soient $f,g:I\to \mathbb{R}$ deux applications et $a\in \overline{I}$. Si au voisinage de $a$ on a $\abs{f}\leq g$ et si $g\xrightarrow[a]{}0$, alors [/latex]
A: [latex] $f$ admet une limite en $a$ et celle-ci est nulle. [/latex]

Q: [latex] Théorème de la limite monotone (cas croissant) [/latex]
A: [latex] Soient $a,b\in \overline{R}$, $f:]a,b[\to \mathbb{R}$.
 Si $f$ est croissante alors
        \begin{enumerate}
            \item $f$ admet une limite finie à gauche et à droite en tout point $x_0\in ]a,b[$. \[\lim_{x_0^-}f=\sup_{\substack{x\in I \\ x<x_0}}f(x) \quad \lim_{x_0^+}f=\inf_{\substack{x\in I \\ x>x_0}}f(x)\]
            \item Soient $x_0\in ]a,b[$ et $x_1\in ]a,b[$, avec $x_0\leq x_1$, alors
            \[\lim_{x_0^-}f\leq f(x_0)\leq \lim_{x_0^+}f\leq \lim_{x_1^-}f\leq f(x_1)\leq \lim_{x_1^+}f.\]
            \item $f$ admet une limite à droite en $a$. Si $f$ est minorée, cette limite est finie, sinon elle vaut $-\infty$.
            \item $f$ admet une limite à gauche en $b$. Si $f$ est majorée, cette limite est finie, sinon elle vaut $+\infty$.
        \end{enumerate}[/latex]

Q: [latex] Théorème de la limite monotone (cas décroissant) [/latex]
A: [latex] Soient $a,b\in \overline{R}$, $f:]a,b[\to \mathbb{R}$. Si $f$ est décroissante alors
        \begin{enumerate}
            \item $f$ admet une limite finie à gauche et à droite en tout point $x_0\in ]a,b[$. \[\lim_{x_0^-}f=\inf_{\substack{x\in I \\ x<x_0}}f(x) \quad \lim_{x_0^+}f=\sup_{\substack{x\in I \\ x>x_0}}f(x)\]
            \item Soient $x_0\in ]a,b[$ et $x_1\in ]a,b[$, avec $x_0\leq x_1$, alors
            \[\lim_{x_0^-}f\geq f(x_0)\geq \lim_{x_0^+}f\geq \lim_{x_1^-}f\geq f(x_1)\geq \lim_{x_1^+}f.\]
            \item $f$ admet une limite à droite en $a$. Si $f$ est majorée, cette limite est finie, sinon elle vaut $+\infty$.
            \item $f$ admet une limite à gauche en $b$. Si $f$ est minorée, cette limite est finie, sinon elle vaut $-\infty$.
        \end{enumerate}[/latex]

Q: [latex] Fonction à valeurs complexes bornée[/latex]
A: [latex] On dit que $f$ est \emph{bornée} s'il existe $K\in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x\in D_f$, $\abs{f(x)}\leq K$. [/latex]

Q: [latex] Soient $a\in \overline{I}$ et $\ell \in \mathbb{C}$. On dit que \emph{la fonction à valeurs complexes $f$ admet $\ell$ comme limite en $a$}[/latex]
A: [latex] $\forall V \in \mathcal{V}(\ell), \, \exists W\in \mathcal{V}(a), \, \forall x\in W\cap I, \, f(x)\in V.$\\
    C'est équivalent à dire que $\abs{f(x)-\ell}\xrightarrow[x\to a]{}0$, ce qui nous ramène au cas d'une limite d'une fonction à valeurs réelles.[/latex]

Q: [latex] Lien entre limite de $f$ et de $\pRe(f)$, $\pIm(f)$[/latex]
A: [latex] Soient $a\in \overline{I}$ et $\ell \in \mathbb{C}$. Les deux assertions sont équivalentes :
    \begin{itemize}
        \item $f\xrightarrow[a]{}\ell$
        \item $\pRe(f)\xrightarrow[a]{}\pRe(\ell)$ et $\pIm(f)\xrightarrow[a]{}\pIm(\ell)$
    \end{itemize}[/latex]