Title: Mathématiques-PTSI / Polynomes

Q: [latex] Polynôme à coefficients dans $\mathbb{K}$[/latex]
A: [latex] Toute suite d'éléments de $\K$, nulle à partir d'un certain rang (appelée suite à support fini). Autrement dit, toute suite $(a_n)_n\in \mathbb{K}^{\N}$ telle qu'il existe $n_0\in \N$, $\forall n \geq n_0$, $a_n=0$.
$P=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} a_kX^k$
[/latex]

Q: [latex] Degré d'un polynôme[/latex]
A: [latex] $n=\sup\{k\in \N| a_k\neq 0\}$ . Par convention le polynôme nul (dont tous les coefficients sont nuls) a pour degré $-\infty$[/latex]

Q: [latex] $\K_n[X]$ [/latex]
A: [latex] Ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à $n$, à coefficients dans $\K$. [/latex]

Q: [latex] Polynôme unitaire [/latex]
A: [latex] On appelle polynôme \emph{unitaire} tout polynôme ayant pour coefficient dominant $1$. [/latex]

Q: [latex] Polynômes constants[/latex]
A: [latex] Les éléments de $\K$.[/latex]

Q: [latex] Somme de deux polynômes[/latex]
A: [latex] Le polynôme $P+Q=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} (a_k+b_k)X^k$[/latex]

Q: [latex] Produit externe d'un polynôme $P$ par $\lambda\in \K$.[/latex]
A: [latex] Le polynôme $\lambda P=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} \lambda a_kX^k$ [/latex]

Q: [latex] Le produit de deux polynômes [/latex]
A: [latex] Le polynôme $PQ=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\left(\displaystyle\sum_{i=0}^{k}a_ib_{k-i}\right)X^k$[/latex]

Q: [latex] La composée de $P$ et $Q$[/latex]
A: [latex] Le polynôme $P\circ Q=P(Q)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty} a_kQ^k$ [/latex]

Q: [latex]$\deg(P+Q)$ [/latex]
A: [latex]$\deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))$. Si $deg(P)\neq deg(Q)$, alors il y a égalité.[/latex]

Q: [latex] $\deg(PQ)$ [/latex]
A: [latex] $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$ [/latex]

Q: [latex] Si $Q$ n'est pas constant, alors $\deg(P\circ Q)$ [/latex]
A: [latex] Si $Q$ n'est pas constant, alors $\deg(P\circ Q)=\deg(P) \times \deg(Q)$. [/latex]

Q: [latex] Théorème de la division euclidienne des polynômes[/latex]
A: [latex] Soient $A$ et $B$ deux polynômes à coefficients dans $\K$, avec $B\neq 0$. Alors il existe un unique couple $(Q,R)$ de polynômes à coefficients dans $\K$, vérifiant
  \[\begin{cases} A=BQ+R\\ \deg(R)<\deg(B) \end{cases}\]
$Q$ et $R$ sont respectivement appelés le quotient et le reste de la division euclidienne de $P$ par $D$. [/latex]

Q: [latex] $P$ est divisible par $D$ [/latex]
A: [latex] Soient $P$ et $D$ deux polynômes à coefficients dans $\K$, $D$ non nul. On dit que $P$ est \emph{divisible} par $D$, ou que $P$ est un multiple de $D$, on note $D|P$, lorsqu'il existe un polynôme $Q\in \K[X]$ tel que $P=D\times Q$.[/latex]

Q: [latex] Division euclidienne de $P$ par $X-x_0$[/latex]
A: [latex] Il existe un unique polynôme Q tel que $P=(X-x_0)Q+\widetilde{P}(x_0)$ [/latex]

Q: [latex] Racine d'un polynôme[/latex]
A: [latex] Soient $P\in \K[X]$ et $x_0\in \K$. On dit que $x_0$ est \emph{racine de $P$} si, et seulement si $\widetilde{P}(x_0)=0 $ [/latex]

Q: [latex] Racine et divisibilité [/latex]
A: [latex] Soient $P\in \K[X]$ et $x_0\in \K$. $x_0$ est racine de $P$ si et seulement si $X-x_0|P$. [/latex]

Q: [latex] Multiplicité d'une racine [/latex]
A: [latex] Soit $P\in \K[X]$ un polynôme non nul, $x_0\in \K$ et $m\in \N$. On dit que $x_0$ est \emph{racine d'ordre de multiplicité $m$ de $P$} lorsque $m$ est le plus grand entier $k$ tel que $(X-x_0)^k$ divise $P$.
Autrement dit, $(X-x_0)^m|P$ mais $(X-x_0)^{m+1}$ ne divise par $P$.
 On dit que $x_0$ est \emph{racine simple} de $P$ pour $m=1$, \emph{multiple} pour $m>1$. [/latex]

Q: [latex] Soient $P\in \K[X]$, $x_0\in \K$, $m\in \N$. {$x_0$ est racine d'ordre $m$ de $P$ si, et seulement si, [...] [/latex]
A: [latex] il existe $Q\in \K[X]$, tel que $P=(X-x_0)^mQ$ avec $\widetilde{Q}(x_0)\neq 0$. [/latex]

Q: [latex] Lien entre le nombre de racines et le degré d'un polynôme[/latex]
A: [latex] Un polynôme non nul admet au maximum $\deg(P)$ racines comptées avec leur ordre de multiplicité. [/latex]

Q: [latex] Soit $n\in \N$ et $P\in \K_n[X]$. Si $P$ admet au moins $n+1$ racines comptées avec leur ordre de multiplicité, alors  [/latex]
A: [latex] $P$ est le polynôme nul.[/latex]

Q: [latex] Soient $n\in \N$ et $(P,Q)\in \K_n[X]^2$. Si $P$ et $Q$ coïncident sur au moins $n+1$ points, alors [/latex]
A: [latex] $P=Q$ [/latex]

Q: [latex] Soit $P\in \K[X]$. Si $P$ admet une infinité de racines, alors  [/latex]
A: [latex] $P$ est le polynôme nul. [/latex]

Q: [latex] Soient $P,Q\in \K[X]$. Si $P$ et $Q$ coïncident sur une infinité de valeurs, alors  [/latex]
A: [latex] $P=Q$ [/latex]

Q: [latex] Polynôme irréductible dans $\K[X]$[/latex]
A: [latex] Soit $P\in \K[X]$ non constant. $P$ est dit \emph{irréductible} dans $\K[X]$ lorsque ses diviseurs sont tous associés soit à $1$ soit à lui même. Autrement dit, ses seuls diviseurs sont les polynômes constants et les polynômes $\lambda P$, $\lambda\in \K$. [/latex]

Q: [latex] Polynôme réductible dans $\K[X]$[/latex]
A: [latex] On dit que $P$ est \emph{réductible} dans $\K[X]$ s'il existe deux polynômes $A$ et $B$ à coefficients dans $\K$ de degré au moins $1$ vérifiant $P=AB$. [/latex]

Q: [latex] Tout polynôme à coefficients réels irréductible dans [...] l'est dans [...]. [/latex]
A: [latex]  Tout polynôme à coefficients réels irréductible dans $\C[X]$ l'est dans $\R[X]$.  La réciproque est fausse ![/latex]

Q: [latex] Tout polynôme de $\K[X]$ de degré supérieur ou égal à 2, admettant une racine dans $\K$ est irréductible ou réductible dans $\K[X]$ ? [/latex]
A: [latex] réductible [/latex]

Q: [latex] Théorème de décomposition en polynômes irréductibles [/latex]
A: [latex] Tout polynôme non nul se décompose de manière unique (à l'ordre des facteurs près) sous la forme
    \[P=\lambda\prod_{k=1}^{n}P_i^{n_i}\] où les $P_i$ sont irréductibles unitaires, les $n_i$ sont des entiers naturels non nuls, $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$. [/latex]

Q: [latex] Polynôme scindé [/latex]
A: [latex] Soit $P\in \K[X]$. On dit que $P$ est \emph{scindé} si, et seulement si, $P$ est nul ou peut s'écrire comme produit de polynômes de degré 1.  Autrement dit, lorsqu'il existe $n\in \N^*$, $\lambda \in \K$, $(x_1,\cdots x_n)\in \K^n$ vérifiant \[P=\lambda\prod_{k=1}^n (X-x_k)\] On dit qu'il est \emph{scindé à racines simples} de de plus toutes les $x_i$ sont distincts. [/latex]

Q: [latex] Relation coefficients racines[/latex]
A: [latex] Soit $n$ un entier non nul et $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ un polynôme \textbf{scindé} de degré $n$ sur $\K$. Alors $P$ est de la forme $\lambda\prod_{k=1}^n (X-x_k)$ avec $\lambda=a_n$ et \[x_1+\cdots+x_n=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n} \quad x_1 \cdots x_n=(-1)^n\dfrac{a_0}{a_n}.\] [/latex]

Q: [latex] Théorème fondamental de l'algèbre ou Théorème de d'Alembert-Gauss [/latex]
A: [latex] Tout polynôme non constant à coefficients dans $\C$ admet au moins une racine complexe. [/latex]

Q: [latex] Polynômes irréductibles dans $\C[X]$[/latex]
A: [latex] Ce sont exactement les polynômes de degré 1.[/latex]

Q: [latex] Théorème de décomposition dans $\C[X]$[/latex]
A: [latex] Soient $n\in \N$, $P$ un polynôme de degré $n$ et de coefficient dominant $\lambda$. Alors il existe $z_1, \cdots, z_n \in \C$ vérifiant \[P=\lambda\prod_{k=1}^{n}(X-z_k)\] Les $z_k$ sont les racines de $P$, éventuellement répétées. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.[/latex]

Q: [latex] Lien entre la multiplicité d'une racine complexe et celle de son conjugué[/latex]
A: [latex] Soient $P\in R[X]$ et $z\in \C\setminus \mathbb{R}$. Alors $z$ et $\overline{z}$ sont des racines de $P$ de même multiplicité. En particulier, $z$ est racine, ssi $\overline{z}$ l'est. Les racines non réelles de $P$ sont donc deux à deux conjuguées.[/latex]

Q: [latex] Polynômes irréductibles dans $\R[X]$ [/latex]
A: [latex] Les polynômes irréductibles dans $\R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle.[/latex]

Q: [latex] Théorème de décomposition dans $\R[X]$[/latex]
A: [latex] Soit $P\in \R[X]$, alors on peut écrire $P$ sous la forme \[P=\lambda \prod_{k=1}^{n}(X-a_k)\prod_{k=1}^{m}(X-z_k)(X-\overline{z_k})\]
    où les $a_i$ sont les racines réelles de $P$ (répétées avec leur multiplicité), les $z_i$ et $\overline{z_i}$ sont les racines complexes non réelles (répétées avec leur multiplicité), $\lambda$ est le coefficient dominant de $P$ et $n+2m=\deg(P)$. On a donc \[P=\lambda \prod_{k=1}^{n}(X-a_k)\prod_{k=1}^{m}(X^2-2\pRe(z_k)+\abs{z_k}^2)\] Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.[/latex]

Q: [latex] Tout polynôme à coefficients réels, de degré impair a .[/latex]
A: [latex] au moins une racine réelle[/latex]

Q: [latex] Polynôme dérivé[/latex]
A: [latex] Soit $P\in\K[X]$, avec $P=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$, alors on appelle \emph{dérivée} de $P$, le polynôme $P'=\sum_{k=1}^{n}a_k k X^{k-1}=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}(k+1)X^k$. [/latex]

Q: [latex] Degré de $P'$[/latex]
A: [latex] Si $P$ est de degré $0$ ou $-\infty$ (i.e. $P$ est constant), alors $P'=0$ donc $\deg(P')=-\infty$. Sinon, $\deg(P')=\deg(P)-1$.[/latex]

Q: [latex] $(\lambda P+Q)'$[/latex]
A: [latex] $\lambda P'+Q'$[/latex]

Q: [latex] $(PQ)'$ [/latex]
A: [latex] $P'Q+PQ'$[/latex]

Q: [latex] $(P\circ Q)'$ [/latex]
A: [latex] $Q'\times (P'\circ Q)$[/latex]

Q: [latex] Formule de Leibniz pour les polynômes [/latex]
A: [latex] Soient $(P,Q)\in \K[X]^2$ et $n\in \N$, Alors \[(PQ)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}P^{(k)}Q^{(n-k)}.\][/latex]

Q: [latex] Formule de Taylor pour les polynômes [/latex]
A: [latex] Soient $P\in \K[X]$ et $x_0\in \K$. Alors \[P=\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P^{(k)}(x_0)}{k!}(X-x_0)^k.\] ou encore, en composant avec $X+x_0$,
    \[P(X+x_0)=\sum_{k=0}^{+\infty}\dfrac{P^{(k)}(x_0)}{k!}X^k.\][/latex]

Q: [latex] Lien entre la multiplicité d'une racine de $P$ et $P'$[/latex]
A: [latex]Soit $P\in \K[X]$, $m\in \N^*$ et $x_0\in \K$. Si $x_0$ est racine d'ordre $m$ de $P$, alors $x_0$ est racine d'ordre $m-1$ de $P'$.[/latex]

Q: [latex] Soient $P\in \K[X]$, $x_0\in \K$, $m\in \N$. [...] si, et seulement si, il existe $Q\in \K[X]$, tel que $P=(X-x_0)^mQ$ avec $\widetilde{Q}(x_0)\neq 0$. [/latex]
A: [latex] $x_0$ est racine d'ordre $m$ de $P$ [/latex]

Q: [latex] Soient $P\in \K[X]$, $n\in \N$ et $\alpha_1, \cdots \alpha_n$ $n$ éléments de $\K$ distincts.
     $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$ sont racines de multiplicité $m_1,\cdots, m_n$ de $P$ si, et seulement si,   [/latex]
A: [latex] il existe $Q\in \K[X]$ tel que $P=\prod_{k=1}^{n}(X-\alpha_i)^{m_i}Q$ avec $\widetilde{Q}(\alpha_i)\neq 0$ pour tout $i$.[/latex]

Q: [latex] Soient $P\in \K[X]$, $n\in \N$ et $\alpha_1, \cdots \alpha_n$ $n$ éléments de $\K$ distincts.
     [...] si, et seulement si, il existe $Q\in \K[X]$ tel que $P=\prod_{k=1}^{n}(X-\alpha_i)^{m_i}Q$ avec $\widetilde{Q}(\alpha_i)\neq 0$ pour tout $i$.  [/latex]
A: [latex] $\alpha_1,\cdots, \alpha_n$ sont racines de multiplicité $m_1,\cdots, m_n$ de $P$ [/latex]

Q: [latex]   Soit $P\in \K[X]$, $m\in \N$ et $a\in \K$. $x_0$ est racine d'ordre $m$ de $P$ si, et seulement si,[...][/latex]
A: [latex] $P^{(m)}(x_0)\neq 0$ et pour tout $k\in \llbracket 0, m-1 \rrbracket$, $P^{(k)}(x_0)=0$[/latex]

Q: [latex]   Soit $P\in \K[X]$, $m\in \N$ et $a\in \K$.  [...] si, et seulement si, $P^{(m)}(x_0)\neq 0$ et pour tout $k\in \llbracket 0, m-1 \rrbracket$, $P^{(k)}(x_0)=0$.[/latex]
A: [latex] $x_0$ est racine d'ordre $m$ de $P$[/latex]