Title: Mathématiques-PTSI / Espaces vectoriels et applications linéaires

Q: [latex] $\K$-espace vectoriel [/latex]
A: [latex] Tout triplet $(E,+,.)$ où $E$ est muni d'une loi interne $+$, appelée \emph{addition}
    \[\fonction{+}{E\times E}{E}{(u,v)}{u+v}\]
    et d'un \emph{produit extérieur }
    \[\fonction{.}{\K\times E}{E}{(\lambda, u)}{\lambda. u}\] vérifiant
\begin{enumerate}
    \item l'addition dans $E$ \begin{enumerate}
        \item associative;
        \item commutative;
        \item admet un élément neutre, noté $0_E$;
        \item tout élément $u$ appartement à $E$ admet un opposé pour l'addition, noté $-u$;
    \end{enumerate}
    \item le produit extérieur
    \begin{enumerate}
        \item admet un élément neutre $1\in \K$ : $\forall v\in E$, $1.v=v$.
        \item est compatible avec le produit réel : $\forall \lambda, \mu \in \K^2, \forall u \in E, \lambda.(\mu.u)=(\lambda\times\mu).u$;
        \item est distributif à gauche et à droite par rapport à l'addition : $\forall \lambda,\mu \in \forall u,v\in E^2, (\lambda+\mu).u=\lambda.u+\mu.u$ et $\lambda.(u+v)=\lambda.u+\lambda.v$
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
NB : on ne demande pas de connaître en détails les propriétés mais de savoir manipuler les éléments d'un e.v.
[/latex]

Q: [latex] Vecteurs dans un espace vectoriel $E$ [/latex]
A: [latex] Les éléments de $E$ sont appelés \emph{vecteurs}. [/latex]

Q: [latex] Scalaires dans un $\K$- espace vectoriel $E$ [/latex]
A: [latex] Les éléments de $\K$ sont appelés \emph{scalaires} [/latex]

Q: [latex] $(\R,+,\times)$ est un ... [/latex]
A: [latex] $\R$ ev. Ce n'est pas un $\C$ ev[/latex]

Q: [latex] $(\C,+,\times)$ est un ... [/latex]
A: [latex] $\R$ ev et un $\C$ e.v. [/latex]

Q: [latex] Combinaison linéaire d'un nombre fini de vecteurs [/latex]
A: [latex] Soient $u_1,\cdots u_n$ $n$ vecteurs de $E$, avec $n\in \N^*$. On appelle \emph{combinaison linéaire} de $u_1, \cdots u_n$, tout vecteur de la forme $u=\sum_{k=1}^{n}\lambda_k.u_k$, avec $\lambda_1, \cdots, \lambda_n\in \K$.
    Par convention, la combinaison linéaire de $0$ vecteur vaut $0_E$. [/latex]

Q: [latex] Combinaison linéaire d'une famille quelconque (pas forcément finie) de vecteurs [/latex]
A: [latex] Soit $I$ un ensemble, $(u_i)_{i\in I}$ une famille de vecteurs indexée par $I$. On appelle \emph{combinaison linéaire} de la famille $(u_i)_{i\in I}$ tout vecteur de la forme $\sum_{i\in I}^{}\lambda_i.u_i$ où $(\lambda_i)_{i\in I}$ est une famille de scalaires à support fini.[/latex]

Q: [latex] Sous-espace vectoriel [/latex]
A: [latex] On dit qu'un ensemble $F$ est un \emph{sous-espace vectoriel} de $E$ lorsque
    \begin{enumerate}
        \item $F\subset E$
        \item $0_E\in F$
        \item $F$ est stable par combinaisons linéaires quelconques de deux vecteurs : $\forall (\lambda,\mu) \in K^2, \forall (u,v)\in F^2$, $\lambda u+\mu v\in F$.
    \end{enumerate}[/latex]

Q: [latex] Caractérisations de sev[/latex]
A: [latex] Soit $F$ un ensemble. Les propositions suivantes sont toutes équivalentes.
    \begin{enumerate}
        \item $F$ est un sev de $E$
        \item $F\subset E$, $F$ est non vide, stable par addition et par multiplication externe
        \item $F\subset E$, $F$ est non vide et $\forall \lambda\in \K, \forall (u,v)\in F^2, \lambda u+v\in F$
        \item $F\subset E$, $0_E\in F$ et $\forall \lambda\in \K, \forall (u,v)\in F^2, \lambda u+v\in F$
    \end{enumerate}
NB : en pratique, on utilisera le dernier point. [/latex]

Q: [latex] Comment montrer qu'un ensemble est un ev ? [/latex]
A: [latex] En pratique il est plus rapide de montrer que c'est un sev d'un ev plus gros. En effet, $F$ muni des lois induites de $E$ est un $\K$ ev ssi $F$ est un sev de $E$[/latex]

Q: [latex] Que peut-on dire de l'intersection de plusieurs sev ? [/latex]
A: [latex] C'est un sev. [/latex]

Q: [latex]Sev engendré par la famille $\mathcal{F}=(x_1,\cdots, x_n)$ de vecteurs d'un ev $E$ [/latex]
A: [latex] On note alors $Vect(\mathcal{F})$, ou $Vect(x_1,\cdots x_n)$ l'ensemble de toutes les C.L. des vecteurs de la famille $\mathcal{F}$. [/latex]

Q: [latex] Quelle propriété vérifie $Vect(\mathcal{F})$, où $\mathcal{F}$ est une famille de vecteurs de $E$ ? [/latex]
A: [latex] C'est un sev de $E$, c'est le plus petit sev de $E$ contenant tout les éléments de $\mathcal{F}$ : autrement dit si $F$ est au autre sev contenant tous les vecteurs de la famille, alors nécessairement $Vect(\mathcal{F})\subset F$. [/latex]

Q: [latex] Somme de deux sev [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{somme} de $F$ et $G$, l'ensemble noté $F+G$, défini par \[F+G=\{x_F+x_G|x_F\in F, x_G\in G\}.\] [/latex]

Q: [latex] Quelles propriétés vérifient la somme de deux sev ? [/latex]
A: [latex] C'est un sev et c'est le plus petit sev qui contient $F\cup G$. [/latex]

Q: [latex] Somme directe de deux sev [/latex]
A: [latex] On dit que $F$ et $G$ sont en \emph{somme directe}, ou que la somme $F+G$ est directe, lorsque tout élément $x$ de $F+G$ se décompose de manière unique sous la forme $x_F+x_G$ avec $x_F\in F$ et $x_G\in G$. Dans ce cas, on note $F\oplus G$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisations de la somme directe de deux sev [/latex]
A: [latex] Les propositions suivantes sont équivalentes.
    \begin{enumerate}
        \item $F$ et $G$ sont en somme directe;
        \item La seule décomposition possible du vecteur nul sous la forme $x_F+x_G$ avec $x_F\in F$ et $x_G\in G$ est la décomposition triviale $0+0$
        \item Tout élément de $E$ s'écrit au plus d'une façon sous la forme $x_F+x_G$ avec $x_F\in F$ et $x_G\in G$.
        \item $F\cap G=\{0_E\}$
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Supplémentaire d'un sev [/latex]
A: [latex] On dit que $F$ est \textbf{un} \emph{supplémentaire} de $G$ (ou que $F$ et $G$ sont supplémentaires) lorsque $E=F\oplus G$. Autrement dit
    \begin{enumerate}
        \item $F+G$ est directe
        \item et $E=F+G$.
    \end{enumerate} [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de deux sev supplémentaires [/latex]
A: [latex] $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ si et seulement si tout élément de $E$ s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$. [/latex]

Q: [latex] Définition d'application linéaire[/latex]
A: [latex] On appelle \emph{application linéaire} ou morphisme d'ev, de $E_1$ dans $E_2$ toute application $\varphi:E_1\to E_2$ vérifiant
    \[\forall (x,y)\in E_1^2, \forall (\lambda,\mu)\in \K^2, \varphi(\lambda x+\mu y )=\lambda \varphi(x)+\mu \varphi(y)\]NB : en pratique on passera par la caractérisation, pour montrer qu'une application est linéaire. [/latex]

Q: [latex] $\mathscr{L}(E_1,E_2)$[/latex]
A: [latex] L'ensemble des applications linéaires de $E_1$ dans $E_2$.[/latex]

Q: [latex] Endomorphisme [/latex]
A: [latex] Une application linéaire de $E_1$ dans $E_1$[/latex]

Q: [latex] Isomorphisme [/latex]
A: [latex] Une application linéaire bijective [/latex]

Q: [latex] $GL(E_1,E_2)$ [/latex]
A: [latex] L'ensemble des isomorphismes de $E_1$ dans $E_2$ [/latex]

Q: [latex] Automorphime[/latex]
A: [latex] Endomorphisme qui est aussi un isomorphisme[/latex]

Q: [latex] Forme linéaire [/latex]
A: [latex] Une application linéaire de $E_1$ dans $\K$.[/latex]

Q: [latex] Que peut-on dire d'une combinaison linéaire de plusieurs applications linéaires de $E_1$ dans $E_2$ ? [/latex]
A: [latex] C'est encore une application linéaire. [/latex]

Q: [latex] Si $f\in \mathcal{L}(E_1,E_2)$ et $g\in \mathcal{L}(E_2,E_3)$ alors ... [/latex]
A: [latex]$g\circ f\in \mathcal{L}(E_1,E_3)$ [/latex]

Q: [latex] L'image directe d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est ... [/latex]
A: [latex] un sous-espace vectoriel[/latex]

Q: [latex]  L'image réciproque d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire est ...[/latex]
A: [latex] un sous-espace vectoriel [/latex]

Q: [latex] Noyau d'une application linéaire[/latex]
A: [latex] Le sev $\Ker\varphi=\{x\in E_1| \varphi(x)=0_{E_2}\}$[/latex]

Q: [latex] Image d'une application linéaire [/latex]
A: [latex] Le sev $\Imf \varphi=\{\varphi(x)|x\in E_1\}$[/latex]

Q: [latex] Si $\varphi$ est un isomorphisme, que dire de $\varphi^{-1}$ ? [/latex]
A: [latex] C'est aussi un isomorphisme.[/latex]

Q: [latex] Soit $\varphi\in \mathcal{L}(E,F)$, $\varphi(\Vect((x_i)_{i\in I})) = [...]$ [/latex]
A: [latex] $\Vect((\varphi(x_i))_{i\in I})$.[/latex]

Q: [latex] Famille génératrice [/latex]
A: [latex] On dit que la famille $(x_i)_{i\in I}$ est \emph{génératrice de $E$} ou qu'elle engendre $E$ lorsque $E=\Vect_{\K}((x_i)_{i\in I})$. [/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{L}(E,F)$ avec $f$ surjective et $(x_i)_{i\in I}$ génératrice. Alors $(f(x_i))_{i\in I}$ est  [/latex]
A: [latex] génératrice de $F$.[/latex]

Q: [latex] Famille libre/ liée [/latex]
A: [latex] On dit que la famille $(x_i)_{i\in I}$ est \emph{libre} lorsque pour tout $(\lambda_i)_{i\in I}$ tels que $\sum_{i\in I}\lambda_i x_i=0$ implique $\forall i \in I, \lambda_i=0$.\\
    Une famille non libre est dite \emph{liée}. Autrement dit, il existe une C.L. de valeur nulle à coefficients non tous nuls.[/latex]

Q: [latex] Soit $f\in \mathscr{L}(E,F)$ avec $f$ injective et $(x_i)_{i\in I}$ libre. Alors $(f(x_i))_{i\in I}$ est [...] [/latex]
A: [latex] libre [/latex]

Q: [latex] Base [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{base} de $E$, toute famille libre et génératrice. [/latex]

Q: [latex] Coordonnées d'un vecteur dans une base d'un ev[/latex]
A: [latex] Soit $\mathcal{B}=(x_i)_{i\in I}$ une base de $E$ et $x\in E$. Alors l'unique famille de scalaires $(\lambda_i)_{i\in I}$ telle que $x=\sum_{i\in I}\lambda_i x_i$ est appelée \emph{famille des coordonnées de $x$ dans $\mathcal{B}$}. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation d'une application linéaire par l'image d'une base [/latex]
A: [latex] Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $E$, $(f_i)_{i\in I}$ est une famille de vecteurs de $F$, alors il existe une unique application telle que pour tout $i\in I$, $u(e_i)=f_i$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation d'une application linéaire par ses restrictions sur deux sous-espaces supplémentaires[/latex]
A: [latex] Soient $F$ et $G$ deux sev supplémentaires de $E$ admettant des bases. Soient $u_F\in \mathcal{L}(F,H)$ et $u_G\in \mathcal{L}(G,H)$. Alors il existe une unique application linéaire $u\in \mathcal{L}(E,H)$ telle que $u_{|F}=u_F$ et $u_{|G}=u_G$.[/latex]

Q: [latex] Soit $E=F\oplus G$. Soient $\mathscr{B}_F$ une base de $F$ et $\mathscr{B}_G$ une base de $G$. Donner une base de $E$[/latex]
A: [latex] La concaténation des deux bases $\mathscr{B}_F\cup \mathscr{B}_G$ est une base de $E$ adaptée à la somme directe. [/latex]

Q: [latex] Homothétie d'ev [/latex]
A: [latex] Soit $\lambda\in \K^*$. On appelle \emph{homothétie de rapport $\lambda$} l'application $\fonction{h_{\lambda}}{E}{E}{x}{\lambda x}$ C'est un automorphisme de $E$, d'inverse $h_{1/\lambda}$ [/latex]

Q: [latex] Projecteur [/latex]
A: [latex] On suppose $E=F\oplus G$. Alors On appelle \emph{projection/projecteur} sur $F$ parallèlement à $G$ l'endomorphisme $\fonction{p_F}{E}{E}{x=x_F+x_G}{x_F}$[/latex]

Q: [latex] Noyau et image de la projection sur $F$ parallèlement à $G$ [/latex]
A: [latex] $\Ker p_F=G$ et $\Imf p_F=F$. En particulier, $E=\Imf(p_F)\oplus\Ker(p_F)$. [/latex]

Q: [latex] Décomposition d'un vecteur avec une projection [/latex]
A: [latex] Tout vecteur $x\in E$ s'écrit $x=p_F(x)+ (x-p_F(x))$[/latex]

Q: [latex] Caractérisation d'une projection [/latex]
A: [latex] Soit $p\in \mathcal{L}(E)$. $p\circ p=p$ ssi $p$ est la projection sur $\Imf p$ parallèlement à $\Ker p$.[/latex]

Q: [latex] Symétrie d'ev [/latex]
A: [latex] On suppose $E=F\oplus G$. On appelle \emph{symétrie par rapport à $F$ et parallèlement à $G$} l'application $\fonction{s_F}{E=F\oplus G}{E}{x=x_F+x_G}{x_F-x_G}$
$s_F=Id_E-2p_G$ [/latex]

Q: [latex] Noyau et image de la symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$. [/latex]
A: [latex] $s_F$ est un automorphisme de $E$, d'inverse elle même. En particulier, $\Ker(s_F)=\{0\}$ et $\Imf(s_F)=E$.[/latex]

Q: [latex] Caractérisation d'une symétrie [/latex]
A: [latex] Soit $s\in \mathcal{L}(E)$. $s^2=id$ si et seulement si, $s$ est la symétrie par rapport à $\Ker(s-id)$ parallèlement à $\Ker(s+id)$[/latex]

Q: [latex] Une application linéaire $\varphi$ est injective si et seulement si [...] [/latex]
A: [latex] $\Ker\varphi =\{0_E\}$[/latex]

Q: [latex] [...] si et seulement si $\Ker\varphi =\{0_E\}$.[/latex]
A: [latex] L'application linéaire $\varphi$ est injective[/latex]

Q: [latex] Une application linéaire $\varphi$ est surjective si et seulement si [...][/latex]
A: [latex]$\Imf\varphi =E_2$.[/latex]

Q: [latex]  [...] si et seulement si $\Imf\varphi =E_2$.[/latex]
A: [latex] L'application linéaire $\varphi$ est surjective[/latex]

Q: [latex] Une famille de $E$ est génératrice si et seulement si [...]
[/latex]
A: [latex] tout élément de $E$ peut s'écrire comme une C.L. des vecteurs de cette famille.[/latex]

Q: [latex] Une famille de $E$ est [...] si et seulement si tout élément de $E$ peut s'écrire comme une C.L. des vecteurs de cette famille.
[/latex]
A: [latex] génératrice[/latex]

Q: [latex] La famille $(x_i)_{i\in I}$ est libre si et seulement si [...] [/latex]
A: [latex] tout élément de $E$ s'écrit d'au plus une façon comme C.L. des $(x_i)_{i\in I}$[/latex]

Q: [latex] La famille $(x_i)_{i\in I}$ est [...] si et seulement si tout élément de $E$ s'écrit d'au plus une façon comme C.L. des $(x_i)_{i\in I}$ [/latex]
A: [latex]libre [/latex]

Q: [latex] La famille $(x_i)_{i\in I}$ est [...] si et seulement si aucun élément de cette famille ne peut s'exprimer comme C.L. des autres éléments de la famille.[/latex]
A: [latex] libre [/latex]

Q: [latex] La famille $(x_i)_{i\in I}$ est libre si et seulement si [...][/latex]
A: [latex] aucun élément de cette famille ne peut s'exprimer comme C.L. des autres éléments de la famille. [/latex]

Q: [latex]  $(x_i)_{i\in I}$ est une [...] de $E$ si et seulement si tout élément de $E$ se décompose de manière unique comme C.L. des éléments de $(x_i)_{i\in I}$.[/latex]
A: [latex] base [/latex]

Q: [latex] $(x_i)_{i\in I}$ est une base de $E$ si et seulement si [...][/latex]
A: [latex]  tout élément de $E$ se décompose de manière unique comme C.L. des éléments de $(x_i)_{i\in I}$. [/latex]