Title: Mathématiques-PTSI / Géométrie de l'espace

Q: [latex] Vecteurs coplanaires[/latex]
A: [latex] Trois vecteurs $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$ et $\vec{u_3}$ sont dits \emph{coplanaires} lorsqu'il existe un triplet de réels $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)\neq (0,0,0)$ tels que $\lambda_1\vec{u_1}+\lambda_2\vec{u_2}+\lambda_3\vec{u_3}=\vec{0}$. Autrement dit, la famille de vecteurs $(\vec{u_1},\vec{u_2},\vec{u_3})$ est liée. \\ Intuitivement, cela signifie qu'ils se situent tous dans le même plan. [/latex]

Q: [latex] Angle non orienté dans l'espace [/latex]
A: [latex]     Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace. Ils appartiennent tous les deux à un même plan. On peut donc les voir comme des vecteurs du plan. On appellera \emph{angle non orienté} entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ l'angle non orienté vu dans le plan.\\ La notion de vecteurs orthogonaux se généralisent donc également. [/latex]

Q: [latex] Plan affine passant par $A$ et de base $(\vec{u},\vec{v})$ [/latex]
A: [latex] Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs \textbf{non colinéaires} et $A$ un point de l'espace.
    On appelle \emph{plan affine passant par $A$ et de base $(\vec{u},\vec{v})$}, l'ensemble
    \[\mathcal{P}=\{A+\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}| (\lambda,\mu)\in \R^2\}=A+\Vect(\vec{u},\vec{v}).\]
   On dit que $(\vec{u},\vec{v})$ forme une \emph{base du plan}. $\Vect(\vec{u},\vec{v})$ s'appelle la \emph{direction} de $\mathcal{P}$, c'est l'unique plan passant par $O$ et parallèle à $\mathcal{P}$ (c'est un plan vectoriel). \\ Un vecteur $\vec{n}$ est dit \emph{normal} au plan $\mathcal{P}$ lorsqu'il est non nul et orthogonal aux deux vecteurs d'une base de $\mathcal{P}$.[/latex]

Q: [latex] Plan passant par $A$, $B$ et $C$[/latex]
A: [latex]     Soient $A$, $B$ $C$ trois points \textbf{non alignés} de l'espace. On appelle \emph{plan passant par $A$, $B$ et $C$} le plan passant par $A$, de base $(\vecteur{AB},\vecteur{AC})$, c'est à dire \[\{A+\lambda \vecteur{AB}+\mu\vecteur{AC}| (\lambda,\mu)\in \R^2\}=A+\Vect(\vecteur{AB},\vecteur{AC}).\][/latex]

Q: [latex]Plan passant par $A$, de vecteur normal $\vecteur{n}$ [/latex]
A: [latex] Soient $A\in \mathcal{E}$ et $\vecteur{n}$ non nul. On appelle \emph{plan passant par $A$, de vecteur normal $\vecteur{n}$} l'ensemble \[\{M\in\mathcal{E} | \vecteur{AM}\text{ et }\vecteur{n} \text{ sont orthogonaux} \}.\] [/latex]

Q: [latex] Plans parallèles [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ deux plans. On dit que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont \emph{parallèles} et on note $\mathcal{P}_1 \sslash \mathcal{P}_2$ lorsqu'ils possèdent des vecteurs normaux colinéaires.[/latex]

Q: [latex] Plans sécants[/latex]
A: [latex] On dit que deux plans sont sécants lorsqu'ils ont une intersection non vide.[/latex]

Q: [latex] Plans perpendiculaires[/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ deux plans. On dit que $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ sont \emph{perpendiculaires} lorsqu'ils possèdent des vecteurs normaux orthogonaux. [/latex]

Q: [latex]Droite affine de l'espace passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$ [/latex]
A: [latex] Soient un vecteur $\vecteur{u}$ non nul et un point $A$ de l'espace.
    On appelle \emph{droite affine de l'espace passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}$}, l'ensemble
    \[\mathcal{D}=\{A+\lambda\vecteur{u}| \lambda\in \R\}=A+\Vect(\vec{u})\]
    Un \emph{vecteur directeur} d'une droite $\mathcal{D}$ de l'espace est un vecteur non nul, colinéaire à tout vecteur de la forme $\vecteur{AB}$, où $A$ et $B$ sont deux points de $\mathcal{D}$. [/latex]

Q: [latex] Droite passant par $A$ et $B$ [/latex]
A: [latex] Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l'espace. On appelle \emph{droite passant par $A$ et $B$} la droite passant par $A$, de vecteur directeur $\vecteur{AB}$, c'est à dire \[\{A+\lambda \vecteur{AB}| \lambda\in \R\}=A+\Vect(\vecteur{AB}).\][/latex]

Q: [latex] Droites parallèles [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites de l'espace. On dit que $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont \emph{parallèles} et on note $\mathcal{D}_1 \sslash \mathcal{D}_2$ lorsqu'elles possèdent des vecteurs directeurs colinéaires.[/latex]

Q: [latex] Droite parallèle à un plan [/latex]
A: [latex] Une droite $\mathcal{D}$ est \emph{parallèle} à un plan $\mathcal{P}$ si, et seulement si, il existe une droite incluse dans $\mathcal{P}$, parallèle à $\mathcal{D}$. [/latex]

Q: [latex] Droites orthogonales [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites.
    On dit que $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont \emph{orthogonales} lorsqu'elles possèdent des vecteurs directeurs orthogonaux. [/latex]

Q: [latex] Droites perpendiculaires de l'espace [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ deux droites.
    On dit que $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ sont \emph{perpendiculaires} lorsqu'elles sont orthogonales et ont un point d'intersection. [/latex]

Q: [latex] Droite et plan perpendiculaires[/latex]
A: [latex] Une droite $\mathcal{D}$ est \emph{perpendiculaire} à un plan $\mathcal{P}$ lorsqu'elle est orthogonale à toute droite incluse dans $\mathcal{P}$. [/latex]

Q: [latex] Intersection d'une droite et d'un plan [/latex]
A: [latex] Soient un plan $\mathcal{P}$ et une droite $\mathcal{D}$. L'intersection $\mathcal{D}\cap\mathcal{P}$ est soit
\begin{itemize}
    \item vide : lorsque $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ sont parallèles et $\mathcal{D}$ non incluse dans $\mathcal{P}$.
    \item la droite $\mathcal{D}$ : lorsque $\mathcal{D}\subset \mathcal{P}$
    \item un point : lorsque $\mathcal{D}$ et $\mathcal{P}$ ne sont pas parallèles.
\end{itemize} [/latex]

Q: [latex] Projeté orthogonal d'un point sur un plan [/latex]
A: [latex] Soit $\mathcal{P}$ un plan et $M$ un point qui n'appartient pas au plan. Le \emph{projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$} est l'unique point à l'intersection de $\mathcal{P}$ et de la droite orthogonale à $\mathcal{P}$ et passant par $M$. Si $M\in \mathcal{P}$, le projeté orthogonal de $M$ est lui-même[/latex]

Q: [latex] Projeté orthogonal d'un point sur une droite de l'espace [/latex]
A: [latex] Soit $\mathcal{D}$ une droite et $M$ un point de l'espace n'appartement pas à la droite. Le \emph{projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$} est l'unique point à l'intersection de $\mathcal{D}$ et du plan orthogonal à $\mathcal{D}$ passant par $M$. Si $M\in \mathcal{D}$, le projeté orthogonal de $M$ est lui même [/latex]

Q: [latex] Base de l'espace[/latex]
A: [latex] Une \emph{base de l'espace} est la donnée d'un triplet de vecteurs $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ \textbf{non coplanaires}, autrement dit une base de $\vec{E}$, au sens des espaces vectoriels. [/latex]

Q: [latex] Repère de l'espace[/latex]
A: [latex] Un \emph{repère (cartésien) de l'espace} est la donnée qu'un quadruplet $(A,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$, où $A$ est un point de $\mathcal{E}$ et $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est une base de l'espace. Le point $A$ est appelé \emph{origine} du repère, généralement noté $O$. Les droites passant par $O$ et dirigées par les vecteurs $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ sont appelés \emph{axes du repère}, notées généralement $(Ox)$, $(Oy)$ et $(Oz)$.\\[/latex]

Q: [latex] Base orthogonale de l'espace [/latex]
A: [latex] Une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est dite \emph{orthogonale} lorsque les vecteurs qui la composent sont orthogonaux deux à deux. [/latex]

Q: [latex] Base orthonormée de l'espace [/latex]
A: [latex] Elle est dite \emph{orthonormée} (ou orthonormale) lorsqu'ils sont orthogonaux et unitaires.[/latex]

Q: [latex] Composantes d'un vecteur dans une base de l'espace [/latex]
A: [latex] Soient $(\vecteur{i}, \vecteur{j}, \vec{k})$ une base de l'espace.
    Alors, pour tout vecteur $\vec{u}$, il existe un unique triplet de réels $(x,y,z)$ tel que \[\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}.\]
           On dit alors que $\vec{u}$ a pour \emph{composantes $\begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix}$ dans la base $(\vec{i},\vec{j}, \vec{k})$}. On note $\vecteur{u}\begin{pmatrix}
               x\\y\\z
           \end{pmatrix}_{(\vec{i},\vec{j}, \vec{k})}$, ou s’il n’y a pas d’ambiguïté sur la base dans laquelle on travaille, $\vecteur{u}\begin{pmatrix}
               x\\y\\z
           \end{pmatrix}$.
          [/latex]

Q: [latex] Coordonnées cartésiennes d'un points dans l'espace [/latex]
A: [latex] Soit $(O,\vecteur{i},\vecteur{j}, \vec{k})$ un repère de l'espace et $M$ un point de l'espace. On appelle \emph{coordonnées (cartésiennes) du point $M$} dans ce repère, les coordonnées du vecteur $\vecteur{OM}$ dans la base $(\vecteur{i},\vecteur{j},\vec{k})$. On note $M(x,y,z)_{(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})}$, ou s’il n’y a pas d’ambiguïté sur le repère dans lequel on travaille, $M(x,y,z)$. \\La troisième coordonnée s'appelle la \emph{cote}. [/latex]

Q: [latex] Soient $(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}, \vec{k})$ un \textbf{R.O.N} de l'espace, $A,B,M$ des points et $\vec{u}$ un vecteur.
    Si $M(x,y,z)$, alors que vaut la longueur $OM$ ?  [/latex]
A: [latex] $OM=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$[/latex]

Q: [latex] Orientation d'un plan [/latex]
A: [latex] Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace et $\vec{n}$ un vecteur normal à $\mathcal{P}$. Une fois le choix de $\vec{n}$ fait, on dit qu'une base $(\vec{u},\vec{v})$ est \emph{directe} si la base de l'espace $(\vec{u},\vec{v},\vec{n})$ est directe. On dit alors que $\mathcal{P}$ est \emph{orienté par $\vec{n}$.} \\ Si $(\vec{u},\vec{v})$ est directe, alors l'angle orienté $(\vec{u},\vec{v})$ est compté positivement. Sinon, il est compté négativement. [/latex]

Q: [latex] Coordonnées cylindriques d'un point [/latex]
A: [latex] Soit $(O, \vec{i}, \vec{j},\vec{k})$ un \textbf{R.O.N.D.}, et $M(x,y,z)$ un point de l'espace distinct de l'origine $O$ du repère. Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $O$ et de base $(\vec{i},\vec{j})$, orienté par le vecteur $\vec{k}$. Soit $(r,\theta)$ un couple de coordonnées polaires du projeté orthogonal de $M$ sur le plan $\mathcal{P}$.\\
    Un \emph{triplet de coordonnées cylindriques} du point $M$ est un triplet de réels $(r, \theta, z)$ tel que $\overrightarrow{O M}=r \vec{u}(\theta)+z\vec{k}$, où $\vec{u}(\theta)=\cos(\theta)\vec{i}+\sin(\theta)\vec{j}$ est le premier vecteur de la base du repère polaire associé à $\theta$. [/latex]

Q: [latex] Produit scalaire de deux vecteurs de l'espace [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace, le \emph{produit scalaire} de ces deux vecteurs, noté $\vecteur{u}. \vecteur{v}$ est le \textbf{réel}
    \[\vecteur{u}.\vecteur{v}=\absd{\vecteur{u}}\absd{\vecteur{v}}\cos(\vecteur{u},\vecteur{v}).\]\\
    Si l'un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.[/latex]

Q: [latex] Inégalité de Cauchy-Schwarz dans l'espace[/latex]
A: [latex] Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs de $\vec{E}$, alors
    \[\abs{\vecteur{u}. \vecteur{v}}\leq \absd{\vecteur{u}}\absd{\vecteur{v}}\] [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de l'orthogonalité de deux vecteurs de l'espace [/latex]
A: [latex] Deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont orthogonaux si, et seulement si, $\vecteur{u}. \vecteur{v}=0$.[/latex]

Q: [latex] Propriétés du produit scalaire de l'espace[/latex]
A: [latex] Le produit scalaire est
    \begin{itemize}
        \item bilinéaire : $\forall \vecteur{u}, \vecteur{v}$, $\vecteur{w}\in \vecteur{E}$, $\forall \lambda,\mu \in \mathbb{R}$, $\vec{u}.(\lambda\vec{v}+\mu\vec{w})=\lambda \vec{u}.\vec{v}+\mu \vec{u}.\vec{w}$ et la même chose dans l'autre sens.
        \item symétrique : $\forall \vecteur{u}, \vecteur{v}\in \vecteur{E}$, $\vec{v}.\vec{u}=\vec{u}.\vec{v}$
        \item défini positif : $\forall \vecteur{u}\in \vecteur{E}$, $\vecteur{u}. \vecteur{u}\geq 0$ et $\vecteur{u}. \vecteur{u}=0 \iff \vecteur{u}=\vecteur{0}$.
    \end{itemize}
    [/latex]

Q: [latex] Produit scalaire dans une B.O.N. de l'espace [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u_1}\begin{pmatrix}
        x_1\\ y_1\\z_1\end{pmatrix}$ et $\vecteur{u_2}\begin{pmatrix}
            x_2\\y_2\\z_2
        \end{pmatrix} $, donnés dans la \textbf{même B.O.N}. Alors \[\vecteur{u_1}.\vecteur{u_2}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.\] [/latex]

Q: [latex] Composantes d'un vecteur dans une base à l'aide du produit scalaire[/latex]
A: [latex] Soient $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ une \textbf{B.O.N.} et $\vec{u}\in\vec{E}$.
    Alors les composantes de $\vec{u}$ dans $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ sont $\begin{pmatrix}\vec{u}.\vec{i}\\ \vec{u}.\vec{j}\\\vec{u}.\vec{k} \end{pmatrix}$.[/latex]

Q: [latex] Produit scalaire et projeté orthogonal de $\vecteur{u}$ sur une droite dirigée par $\vecteur{v}$ [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls et $p_{\vec{v}}(\vec{u})$ le projeté orthogonal de $\vecteur{u}$ sur une droite dirigée par $\vecteur{v}$. Alors \[\vecteur{u}\cdot \vecteur{v}=p_{\vec{v}}(\vec{u})\cdot \vecteur{v}.\] [/latex]

Q: [latex] Interprétation géométrique du produit scalaire dans l'espace [/latex]
A: [latex] Si $\vecteur{AB}=\vecteur{u}$ et $\vecteur{AC}=\vecteur{v}$. On note $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur la droite $(AB)$, on peut écrire $\vecteur{u}.\vecteur{v}=\overline{AB}\overline{AH}$ (mesure algébrique). C'est le produit de $\absd{\vecteur{u}}$ par la longueur algébrique du projeté orthogonal de $\vecteur{v}$ sur $\vecteur{u}$. [/latex]

Q: [latex] Projeté orthogonal selon un vecteur [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non nuls tels que \textbf{$\absd{\vecteur{v}}=1$}. On note $p_{\vec{v}}(\vec{u})$ le projeté orthogonal de $\vecteur{u}$ selon $\vecteur{v}$. Alors \[p_{\vec{v}}(\vec{u})=(\vecteur{u}.\vecteur{v})\vecteur{v}.\] [/latex]

Q: [latex] Calcul du projeté orthogonal d'un vecteur sur un plan[/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{n}$ deux vecteurs non nuls tels que \textbf{$\absd{\vecteur{n}}=1$}. On note $p_{\mathcal{P}}(\vec{u})$ le projeté orthogonal de $\vecteur{u}$ sur un plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vecteur{n}$. Alors \[p_{\mathcal{P}}(\vec{u})=\vecteur{u}-p_{\vec{n}}(\vec{u})=\vecteur{u}-(\vecteur{u}.\vecteur{n})\vecteur{n}.\][/latex]

Q: [latex] Produit vectoriel [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ deux vecteurs non colinéaires de l'espace, le \emph{produit vectoriel} de ces deux vecteurs, noté $\vecteur{u}\wedge  \vecteur{v}$ est le \textbf{vecteur} $\vec{w}$ tel que
    \begin{enumerate}
        \item $\vec{w}$ est orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (i.e. au plan $\Vect(\vec{u},\vec{v})$),
        \item $\absd{\vec{w}}=\absd{\vec{u}}\absd{\vec{v}}\abs{\sin({\vec{u},\vec{v}})}$
        \item la base $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ est directe
    \end{enumerate}
    Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, on pose $\vec{u}\wedge \vec{v}=\vec{0}$.
   [/latex]

Q: [latex]Caractérisation de la colinéarité dans l'espace [/latex]
A: [latex] Deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, $\vecteur{u}\wedge \vecteur{v}=0$.[/latex]

Q: [latex] Propriétés du produit vectoriel [/latex]
A: [latex] Le produit vectoriel est
    \begin{itemize}
        \item bilinéaire : $\forall \vecteur{u}, \vecteur{v}$, $\vecteur{w}$, $\forall (\lambda,\mu) \in \mathbb{R}^2$, $\vec{u}\wedge(\lambda\vec{v}+\mu\vec{w})=\lambda \vec{u}\wedge\vec{v}+\mu \vec{u}\wedge\vec{w}$ et la même chose dans l'autre sens.
        \item antisymétrique : $\forall \vecteur{u}, \vecteur{v}$, $\vec{v}\wedge\vec{u}=-\vec{u}\wedge\vec{v}$
    \end{itemize}[/latex]

Q: [latex] Produit vectoriel dans une B.O.N.D [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u_1}\begin{pmatrix}
        x_1\\ y_1\\z_1\end{pmatrix}$ et $\vecteur{u_2}\begin{pmatrix}
            x_2\\y_2\\z_2
        \end{pmatrix} $, donnés dans la \textbf{même B.O.N.D} $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Alors \[\vecteur{u_1}\wedge\vecteur{u_2}=         \begin{vmatrix}             y_1 & y_2\\ z_1 & z_2         \end{vmatrix}\vec{i}+\begin{vmatrix}             z_1 & z_2\\ x_1 & x_2         \end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}             x_1 & x_2\\ y_1 & y_2         \end{vmatrix}\vec{k}=         \begin{pmatrix}             y_1z_2-z_1y_2\\ z_1x_2-x_1z_2\\ x_1y_2-y_1x_2         \end{pmatrix}.\] [/latex]

Q: [latex] Produit mixte/Déterminant de vecteurs de l'espace [/latex]
A: [latex] Soient $\vecteur{u}$, $\vecteur{v}$ et $\vecteur{w}$ trois vecteurs de l'espace, on appelle \emph{produit mixte} (ou déterminant) de ces trois vecteurs, le \textbf{réel} \[        [\vecteur{u},\vecteur{v},\vec{w}]=(\vec{u}\wedge \vec v).\vec{w}\]
        On le note parfois $det(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$. [/latex]

Q: [latex] Interprétation géométrique du produit vectoriel [/latex]
A: [latex] $\absd{\vec{u}\wedge \vec{v}}$ est l'aire du parallélogramme construit sur $\vec{u}$ et $\vec{v}$. [/latex]

Q: [latex] Interprétation du produit mixte dans l'espace [/latex]
A: [latex] Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ trois vecteurs non coplanaires. Alors $\abs{[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]}$ est le volume du parallélépipède construit sur $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$. [/latex]

Q: [latex] Caractérisation de la coplanarité [/latex]
A: [latex] Trois vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vec{v}$ et $\vecteur{w}$ sont coplanaires si, et seulement si, $[\vecteur{u},\vecteur{v},\vec{w}]=0$. [/latex]

Q: [latex] Propriétés du produit mixte/déterminant dans l'espace[/latex]
A: [latex] Le produit mixte est
    \begin{itemize}
        \item trilinéaire : linéaire par rapport à chacun des trois vecteurs.
        \item antisymétrique : si on échange deux vecteurs, le signe change.
        \item alterné : il est nul dès que 2 des trois vecteurs sont colinéaires.
    \end{itemize}[/latex]

Q: [latex] Bases de l'espace et déterminant [/latex]
A: [latex]     $(\vecteur{u} ,\vecteur{v},\vecteur{w})$ forme une base de $\vec{E}$ si, et seulement si, $[\vecteur{u},\vecteur{v},\vec{w}]\neq 0$. Cette base est directe si, et seulement si, $[\vecteur{u},\vecteur{v},\vec{w}]> 0$, indirecte sinon.[/latex]

Q: [latex] Représentation paramétrique d'un plan[/latex]
A: [latex] Soit $\mathcal{P}$ un plan affine passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ et de base $\vec{u}(x_u,y_u,z_u)$ et $\vec{v}(x_v,y_v,z_v)$.
Alors \[\mathcal{P}=\{(x_A+\lambda x_u+\mu x_v, y_A+\lambda y_u+\mu y_v,z_A+\lambda z_u+\mu z_v )|(\lambda,\mu)\in \R^2\}\]
On dit que ce système est \emph{une représentation paramétrique} du plan $\mathcal{P}$.
\\
Réciproquement, l'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels que $\exists (\lambda,\mu)\in\R^2, \left\lbrace \begin{array}{rcl}
        x & = & a+\lambda \alpha_1+\mu \alpha_2  \\
        y & = & b+\lambda \beta_1+\mu \beta_2\\
        z & = & c+\lambda \gamma_1+\mu \gamma_2
    \end{array}\right.$ est le plan passant par $A(a,b,c)$ et de base $\vec{u}(\alpha_1,\beta_1,\gamma_1)$ et $\vec{v}(\alpha_2,\beta_2,\gamma_2)$.
Ce n'est rien d'autre que l'écriture $A+\Vect(\vec{u},\vec{v})$
[/latex]

Q: [latex] Equation cartésienne d'un plan [/latex]
A: [latex] Soient $(a,b,c,d)\in \R^4$ avec $(a,b,c)\neq (0,0,0)$\\ L'ensemble des solutions de l'équation $ax+by+cz=d$ est un plan $\mathcal{P}$ de l'espace. L'équation $ax+by+cz=d$ est appelée \emph{équation cartésienne} de $\mathcal{P}$. \\Réciproquement, pour tout plan $\mathcal{P}$ de l'espace, il existe un tel quadruplet, unique à un coefficient multiplicatif près, tel que
    \[\mathcal{P}=\left\lbrace M(x,y,z)\in \mathcal{E}| ax+by+cz=d \right\rbrace\][/latex]

Q: [latex] Si le plan $\mathcal{P}$ a une équation de la forme $ax+by+cz=d$, alors [/latex]
A: [latex] $\vecteur{n}\begin{pmatrix}
        a\\ b\\c
    \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan. [/latex]

Recto: [latex] Si $(\vec{u},\vec{v})$ une base du plan alors donner un vecteur normal au plan.[/latex]
Q: [latex] Si $(\vec{u},\vec{v})$ une base du plan alors [...] est un vecteur normal au plan.[/latex]
A: $\vec{u}\wedge \vec{v}$

Q: [latex] Intersection de deux plans non parallèles [/latex]
A: [latex] Deux plans non parallèles de vecteurs normaux respectifs $\vec{n}_1$ et $\vec{n}_2$ ont une intersection qui est une droite dirigée par le vecteur $\vec{n}_1\wedge \vec{n}_2$.[/latex]

Q: [latex] Paramétrage d'une droite de l'espace [/latex]
A: [latex] Soit $(O,\vecteur{i},\vecteur{j},\vec{k})$ un repère orthonormé direct et $\mathcal{D}$ une droite affine passant par $A(x_A,y_A,z_A)$ et dirigée par $\vec{u}(x_u,y_u,z_u)$.
Alors \[\mathcal{D}=\{(x_A+\lambda x_u, y_A+\lambda y_u,z_A+\lambda z_u)|\lambda\in \R\}\]
On dit que ce système est \emph{une représentation paramétrique} de la droite $\mathcal{D}$.
\\
Réciproquement, l'ensemble des points $M(x,y,z)$ tels qu'il existe $ \lambda\in\R, \left\lbrace \begin{array}{rcl}
        x & = & a+\lambda \alpha \\
        y & = & b+\lambda \beta\\
        z & = & c+\lambda \gamma\\
    \end{array}\right.$ est la droite passant par $A(a,b,c)$ et dirigée par $\vec{u}(\alpha,\beta,\gamma)$
Ce n'est rien d'autre que l'écriture $\mathcal{D}=A+\Vect(\vec{u})$
[/latex]

Q: [latex] Equations cartésiennes d'une droite de l'espace [/latex]
A: [latex] Pour toute droite $\mathcal{D}$ de l'espace, il existe deux quadruplets (unique à coefficients multiplicatifs près) $(a_1,b_1,c_1,d_1)\in \R^4$, $(a_2,b_2,c_2,d_2)\in \R^4$ tels que $(a_i,b_i,c_i)\neq (0,0,0)$ et non proportionnels, tels que
    \[\mathcal{D}=\left\lbrace M(x,y,z)\in \mathcal{E}|\begin{cases}         a_1x+b_1y+c_1z=d_1\\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2     \end{cases}  \right\rbrace\][/latex]

Q: [latex] Distance d'un point à un plan[/latex]
A: [latex] Soient $A$ et $\mathcal{P}$ un plan.
On définit la \emph{distance entre $A$ et $\mathcal{P}$}, notée $d(A,\mathcal{P})$ par \[d(A,\mathcal{P})=\inf \{ \absd{\vecteur{MA}}| M\in \mathcal{P}    \}.\] [/latex]

Q: [latex] Calcul du projeté orthogonal d'un point sur un plan [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{P}$ un plan et $M$ un point. Soient $A\in \mathcal{P}$ et $\vec{n}$ un vecteur normal \textbf{unitaire} de $\mathcal{P}$.
Alors, le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{P}$ est \[p_{\mathcal{P}}(M)=M-(\vecteur{AM}.\vec{n})\vec{n}\] [/latex]

Q: [latex] Calcul de la distance d'un point à un plan [/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{P}$ un plan et $M$ un point, Alors
    \[d(M,\mathcal{P})=\absd{\vecteur{M p_{\mathcal{P}}(M)}}\]
    Le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$ est le point de la droite qui est le plus proche de $M$.
A savoir retrouver : En particulier, si $A\in \mathcal{P}$ et si $\vecteur{n}$ est un vecteur normal et \textbf{unitaire} de $\mathcal{P}$, alors \[d(M,\mathcal{P})=\abs{\vecteur{AM}.\vecteur{n}}\]
    Si $\vecteur{u},\vec{v}$ est une base \textbf{unitaire} de $\mathcal{P}$, alors \[d(M,\mathcal{P})=\abs{[\vecteur{AM},\vecteur{u},\vec{v}]}\]
[/latex]

Q: [latex] Distance d'un point à une droite de l'espace[/latex]
A: [latex]     Soient $A$ et $\mathcal{D}$ une droite.
On définit la \emph{distance entre $A$ et $\mathcal{D}$}, notée $d(A,\mathcal{D})$ par \[d(A,\mathcal{D})=\inf \{ \absd{\vecteur{MA}}| M\in \mathcal{D}    \}.\][/latex]

Q: [latex] Calcul du projeté orthogonal d'un point sur une droite de l'espace[/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}$ une droite et $M\in \mathcal{E}$. Soient $A\in \mathcal{D}$ et $\vecteur{u}$ un vecteur directeur \textbf{unitaire} de $\mathcal{D}$. Alors, le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$, noté $p_{\mathcal{D}}(M)$, vérifie
    \[p_{\mathcal{D}}(M)=A+(\vecteur{AM}.\vecteur{u})\vecteur{u}.\] [/latex]

Q: [latex] Calcul de la distance d'un point à une droite de l'espace[/latex]
A: [latex] Soient $\mathcal{D}$ une droite du plan et $M\in \mathcal{E}$ un point, Alors
    \[d(M,\mathcal{D})=\absd{\vecteur{M p_{\mathcal{D}}(M)}}\]
    Le projeté orthogonal de $M$ sur $\mathcal{D}$ est le point de la droite qui est le plus proche de $M$.
A savoir retrouver :
En particulier, si $A\in \mathcal{D}$ et si $\vecteur{u}$ est un vecteur directeur et \textbf{unitaire} de $\mathcal{D}$, alors \[d(M,\mathcal{D})=\absd{\vecteur{AM}\wedge\vecteur{u}}\]
[/latex]

Q: [latex] Sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ [/latex]
A: [latex] On appelle \emph{sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$} l'ensemble \[\mathcal{S}(\Omega,R)=\{M\in \mathcal{E}| \Omega M=R\}.\] [/latex]

Q: [latex] Sphère de diamètre $[AB]$[/latex]
A: [latex] Soient $A$ et $B$ deux points distincts de $\mathcal{E}$. L'ensemble\[ \{M\in \mathcal{E}| \vecteur{AM}.\vecteur{BM}=0\}\] est une sphère. C'est la \emph{sphère de diamètre $[AB]$} [/latex]

Q: [latex] Equation cartésienne d'une sphère[/latex]
A: [latex] Soient $\Omega\in \mathcal{E}$ et $R\geq 0$. Les points de la sphère vérifient l'équation cartésienne \[(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2+(z-z_{\Omega})^2=R^2\]
    Réciproquement, toute équation de la forme $x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz-d=0$, avec $a^2+b^2+c^2+d\geq 0$ est une équation de sphère de centre $\Omega(a,b,c)$ et de rayon $R=\sqrt{d+a^2+b^2+c^2}$.[/latex]